[論文レビュー] Decay properties of the Hardy-Littlewood-Sobolev systems of the Lane-Emden type

Yutian Lei, Congming Li|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、R^nにおけるHardy-Littlewood-Sobolev (HLS)およびLane-Emden型系の正の解の崩壊特性を調査する。鋭い基準を確立する：可積分な解は急速に崩壊し、非可積分な有界解はゆっくりと崩壊する。崩壊速度は系のパラメータによって明確に定まる。主な貢献は、可積分性に基づく崩壊行動の分類であり、変分法が不適切となる超臨界的領域における漸近的挙動を解消するものである。

ABSTRACT

In this paper, we study the asymptotic behavior of positive solutions of the nonlinear differential systems of Lane-Emden type $2k$-order equations $$\{{array}{l} (-Δ)^k u=v^q,u>0 \quad in ~R^n, (-Δ)^k v=u^p,v>0 \quad in ~R^n, {array}. $$ and the Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) type system of nonlinear equations $$ \{{array}{l} u(x)=\displaystyle\int_{R^n}\frac{v^q(y)dy}{|x-y|^{n-α}},u>0 \quad in ~R^n, v(x)=\displaystyle\int_{R^n}\frac{u^p(y)dy}{|x-y|^{n-α}},u>0 \quad in ~R^n. {array}. $$ Such an integral system is related to the study the extremal functions of the HLS inequality. We point out that the bounded solutions $u,v$ converge to zero either with the fast decay rates or with the slow decay rates when $|x| o \infty$ under some assumptions. In addition, we also find a criterion to distinguish the fast and the slow decay rates: if $u,v$ are the integrable solutions (i.e. $(u,v) \in L^{r_0}(R^n) imes L^{s_0}(R^n)$), then they decay fast; if the bounded solutions $u,v$ are not the integrable solutions (i.e. $(u,v) ot\in L^{r_0}(R^n) imes L^{s_0}(R^n)$), then they decay almost slowly. Here, for the HLS type system, $r_0=\frac{n(pq-1)}{α(q+1)}$, $s_0=\frac{n(pq-1)}{α(p+1)}$; and for the Lane-Emden type system, $r_0,s_0$ are still the forms above where $α$ is replaced by $2k$.

研究の動機と目的

• 非線形積分方程式およびPDE系（Lane-Emden型およびHLS型）の正の解の漸近的崩壊挙動を分析すること。
• 特に変分法が適用できない超臨界的状況において、可積分性と崩壊速度に基づいて解を分類すること。
• 可積分解による高速崩壊と非可積分有界解による低速崩壊を区別する鋭い基準を確立すること。
• 単一のLane-Emden方程式に対する既知の崩壊結果を、高階および積分方程式の結合系へと拡張すること。
• 非臨界的条件下における正の解の存在理論において、崩壊速度が果たす役割を明確にすること。

提案手法

• HLS型系：u(x) = ∫ v^q(y) / |x−y|^{n−α} dy, v(x) = ∫ u^p(y) / |x−y|^{n−α} dy の解の漸近的挙動を分析する。
• 解の分類に用いる可積分性の閾値 r₀ = n(pq−1)/(α(q+1)), s₀ = n(pq−1)/(α(p+1)) を導入する。
• 反復的積分推定と比較論法を用いて、崩壊速度の下界および上界を導出する。
• HLS不等式とスケーリング論法を用いて、崩壊挙動と可積分性・エネルギー条件との関係を確立する。
• 崩壊列に対する帰納法と背理法を用いて、整合性のない崩壊速度を除外する。
• 適切な条件下で、可積分解、有限エネルギー解、高速崩壊有界解が同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の解が |x| → ∞ において急速に崩壊するか、ゆっくりと崩壊するかを決定するのは何であるか？
• RQ2 解 (u,v) ∈ L^{r₀} × L^{s₀} の可積分性は、その崩壊速度とどのように関係するか？
• RQ3 系のパラメータ p, q, α, n に基づいて、有界解の崩壊速度を正確に特徴づけられるか？
• RQ4 1/(p+1) + 1/(q+1) = (n−α)/n である臨界条件が、崩壊および存在性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 結合系の崩壊特性は、単一のLane-Emden方程式からの既知の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• 可積分である、すなわち (u,v) ∈ L^{r₀}(R^n) × L^{s₀}(R^n) である解は、|x| → ∞ において、u(x) ≲ |x|^{-α(q+1)/(pq−1)}, v(x) ≲ |x|^{-α(p+1)/(pq−1)} の速度で急速に崩壊する。
• 非可積分な有界解はほとんど低速に崩壊し、崩壊速度は正確に臨界指数と一致する：u(x) ≲ |x|^{-α(q+1)/(pq−1)}, v(x) ≲ |x|^{-α(p+1)/(pq−1)}
• 臨界条件 1/(p+1) + 1/(q+1) = (n−α)/n が成り立つのは、系が有限エネルギー解をもつときであり、かつそのときに限る。
• 与えられた仮定のもとで、可積分解は有限エネルギー解および高速崩壊有界解と同値である。
• 解が臨界速度より速く崩壊するならば、臨界条件が成り立ち、その解は有限エネルギー解である。
• 本稿では、解が臨界速度より遅く崩壊することは不可能であり、非可積分な解である場合に限り、正確に臨界速度で崩壊する、と証明している。