[論文レビュー] Decidability of the isomorphism and the factorization between minimal substitution subshifts

Fabien Durand, Julien Leroy|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

semigroups and automata theory参考文献 60被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、任意の因子写像が有界半径のスライディングブロック符号に相当する合成写像とシフトのべきに等価であることを示すことにより、最小置換サブシフト間の同型および因子分解の決定可能性を確立する。主な貢献は、このような符号の半径に対する計算可能な上限 R を得ることであり、これにより同型および因子分解の決定的アルゴリズム的手続きを可能にする。

ABSTRACT

Classification is a central problem for dynamical systems, in particular for families that arise in a wide range of topics, like substitution subshifts. It is important to be able to distinguish whether two such subshifts are isomorphic, but the existing invariants are not sufficient for this purpose. We first show that given two minimal substitution subshifts, there exists a computable constant $R$ such that any factor map between these subshifts (if any) is the composition of a factor map with a radius smaller than $R$ and some power of the shift map. Then we prove that it is decidable to check whether a given sliding block code is a factor map between two prescribed minimal substitution subshifts. As a consequence of these two results, we provide an algorithm that, given two minimal substitution subshifts, decides whether one is a factor of the other and, as a straightforward corollary, whether they are isomorphic.

研究の動機と目的

• 記号的力学における長年の未解決問題である、最小置換サブシフト間の同型および因子分解の決定可能性を解明すること。
• 定長置換に関する先行結果を、より広い非周期的最小モーフィックサブシフトのクラスへと拡張すること。
• 因子写像および同型写像を、有界半径のスライディングブロック符号とシフトのべきを用いた構成的特徴づけを行うこと。
• 最小置換サブシフトの自己同型群が、計算可能な構造を持つ「ほとんど ℤ」であることを確立すること。
• モーフィック系列の文脈において、軌道同値およびサブシフト因子分解に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 任意の二つの最小置換サブシフト間の因子写像が、計算可能な定数 R で抑えられる有界半径のスライディングブロック符号を経由して因子分解されることを証明する。
• 半径を縮小するための再スケーリングプロセスを用い、定長置換からの先行結果を一般の最小置換サブシフトへと一般化する。
• 一様再帰的モーフィック系列の構造と認識可能性を活用して、可能な因子写像の複雑さを制限する。
• プレスバッカー算術および D0L 同値性を用いたモーフィック言語の包含関係および等価性の決定可能性結果を応用し、因子写像の条件を検証する。
• 与えられたスライディングブロック符号が、指定された二つの最小置換サブシフト間の有効な因子写像であるかどうかをチェックするアルゴリズムを構築する。
• 有界半径の結果とアルゴリズム的検証を組み合わせ、有限半径符号の全探索を用いて同型および因子分解を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つの最小置換サブシフトが同型であるかどうかは、決定可能か？
• RQ2 二つの最小置換サブシフト間の因子写像の存在は、アルゴリズム的に決定可能か？
• RQ3 すべての最小置換サブシフト間の因子写像を表すスライディングブロック符号の半径について、一様な計算可能な上限 R が存在するか？
• RQ4 与えられた最小モーフィックサブシフトのすべての非周期的因子サブシフトの集合は、アルゴリズム的に計算可能か？
• RQ5 最小置換サブシフトにおける軌道同値は決定可能か？また、同型写像とはどのように関係するか？

主な発見

• すべての因子写像が、ある計算可能な定数 R より小さい半径のスライディングブロック符号とシフトのべきの合成を通じて因子分解されることを保証する計算可能な定数 R が存在する。
• 与えられたスライディングブロック符号が、指定された二つの最小置換サブシフト間の有効な因子写像であるかどうかは決定可能である。
• 有界半径因子分解と有効な検証の結果から直接的に、最小置換サブシフト間の同型問題が決定可能であることが示される。
• 同じアルゴリズム的枠組みを用いることで、ある最小置換サブシフトが別のサブシフトの因子であるかどうかの因子分解問題も決定可能である。
• 任意の最小置換サブシフトの自己同型群は、有限個の非シフト自己同型を含む「ほとんど ℤ」である。これらの自己同型は、有効に計算可能である。
• 本結果は、定長置換に限った先行の決定可能性結果を、非周期的最小モーフィックサブシフトの全クラスへと拡張し、Salol と Törmä の研究を一般化する。