[論文レビュー] Decoherence Control and Purification of Two-dimensional Quantum Density Matrices under Lindblad Dissipation

Patrick Rooney, Anthony M. Bloch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、密度行列の固有値スペクトルへの射影を用いて、リンドブラッド散逸下における2次元量子系の軌道間ダイナミクスを分離・解析する制御理論的枠組みを構築する。ユニタリ軌道に沿った位置を表す新たな制御変数を導入し、可制御性および純粋化条件の解析を可能にする。主な結果として、純粋化可能性が、すべてのリンドブラッド演算子が共通の固有ベクトルを持つ必要があること、特に単一のエルミート演算子では不可能であることが示されている。

ABSTRACT

Control of quantum dissipative systems can be challenging because control variables are typically part of the system Hamiltonian, which can only generate motion along unitary orbits of the system. To transit between orbits, one must harness the dissipation super-operator. To separate the inter-orbit dynamics from the Hamiltonian dynamics for a generic two-dimensional system, we project the Lindblad master equation onto the set of spectra of the density matrix, and we interpret the location along the orbit to be a new control variable. The resulting differential equation allows us to analyze the controllability of a general two-dimensional Lindblad system, particularly systems where the dissipative term has an anti-symmetric part. We extend this to categorize the possible purifiable systems in two dimensions.

研究の動機と目的

• リンドブラッド散逸下の開放系におけるユニタリ発展から軌道間ダイナミクスを分離する。
• ハミルトニアン制御に加えて散逸ダイナミクスを活用することで、状態の純粋度を制御可能にする。
• 密度行列のスペクトルを制御変数として用いて、ユニタリ軌道間の運動を記述する低次元微分方程式を導出する。
• 一般のリンドブラッドダイナミクス下での2次元量子系の純粋化可能な系の集合を特徴付ける。
• 純粋化のための必要十分条件を、リンドブラッド演算子の構造に従って確立する。

提案手法

• リンドブラッドマスタ方程式を密度行列の固有値スペクトルの集合へ射影し、軌道間ダイナミクスを分離する。
• 内部軌道ダイナミクスが速いと仮定し、ユニタリ軌道に沿った位置を新たな制御変数として扱う。
• 密度行列のスペクトル分解を用いて、状態を固有値と正規化されたブロッホベクトルでパラメータ化する。
• 散逸スーパーオペレータの対称的および反対称的成分にそれぞれ3つの実数パラメータを割り当てることで、一般の2次元リンドブラッド系をモデル化する。
• ラグランジュ乗数法を用いて、状態空間内での動的捕獲領域のサイズを数値的に計算する。
• 関数 $ f_M(r) $ の振る舞いを解析することで、純粋化可能性の条件を導出する。特に $ f_M(1) = 0 $ および $ a_2 > 0 $ を注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2レベル量子系におけるリンドブラッド散逸下で、軌道間ダイナミクスはどのようにユニタリ発展から分離可能か？
• RQ2 2次元系における状態の純粋化を可能にするリンドブラッド演算子に必要な条件は何か？
• RQ3 散逸スーパーオペレータに反対称成分が存在する場合、可制御性および動的捕獲領域の存在にどのような影響を与えるか？
• RQ4 動的捕獲領域（状態が脱出できない領域）のサイズは、解析的または数値的に特定可能か？
• RQ5 2レベル系における純粋化可能性に必要な十分な構造的制約は、リンドブラッド演算子にどのようなものか？

主な発見

• 非ゼロの反対称的散逸を有する系では、状態が状態空間の部分区間に閉じ込められ、脱出できない動的捕獲領域が存在する。
• 簡単な場合については、動的捕獲領域のサイズを解析的に計算可能であり、ラグランジュ乗数法を用いて数値的にも計算可能である。
• すべてのリンドブラッド演算子が共通の固有ベクトルを持つことが、純粋化可能性の必要条件である。
• 純粋化可能性の十分条件として、系が単一のエルミートリンドブラッド演算子から成る場合を除くことが求められる。このような系では、$ f_M(r) $ が厳密に単調減少にならないためである。
• 純粋度の変化率を支配する関数 $ f_M(r) $ は、$ f_M(1) = 0 $ および $ a_2 > 0 $ を満たす必要があり、純粋化への可制御性を保証する。
• この形式的枠組みは高次元系へ拡張可能であるが、次元が2より大きい場合の密度行列のより洗練された幾何構造が、一般化に新たな課題をもたらす。