[論文レビュー] Decomposing Hessenberg varieties over classical groups

Julianna Tymoczko|ArXiv.org|Nov 14, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、型$A_n$のすべてのヘッセンバーグ多様体、および型$B_n$、$C_n$、$D_n$の半単純および正則冪零ヘッセンバーグ多様体が、ブルハット分解との交わりを通じてアフィン空間によるパビングをもつことを確立する。主な結果は、セルの次元の公式と、型$A_n$のペトーセン多様体のポアンカーポリノミアルの計算であり、$∑_{i=0}^{n-1}⌈n-1⌉{i}x^{2i}$として得られ、位相幾何学と組合せ論を結びつける。

ABSTRACT

Hessenberg varieties are a family of subvarieties of the flag variety, including the Springer fibers, the Peterson variety, and the entire flag variety itself. The seminal example arises from a problem in numerical analysis and consists for a fixed linear operator M of the full flags V_1 \subsetneq V_2 >... \subsetneq V_n in GL_n with M V_i contained in V_{i+1} for all i. In this paper I show that all Hessenberg varieties in type A_n and semisimple and regular nilpotent Hessenberg varieties in types B_n,C_n, and D_n can be paved by affine spaces. Moreover, this paving is the intersection of a particular Bruhat decomposition with the Hessenberg variety. In type A_n, an equivalent description of the cells of the paving in terms of certain fillings of a Young diagram can be used to compute the Betti numbers of Hessenberg varieties. As an example, I show that the Poincare polynomial of the Peterson variety in A_n is \sum_{i =0}^{n-1} \binom{n-1}{i} x^{2i}.

研究の動機と目的

• ヘッセンバーグ多様体のトポロジー的分解をアフィンパビングを用いて確立すること。
• スプリンガー層から既知のアフィンパビングを、古典的リーダイクス型におけるより広いクラスのヘッセンバーグ多様体へ拡張すること。
• 組合せ的セル記述を通じてベッチ数およびポアンカーポリノミアルを一様に計算する方法を提供すること。
• 明示的なセル次元公式を通じて、ヘッセンバーグ多様体の幾何学を表現論および組合せ論と結びつけること。

提案手法

• フラッグ多様体のブルハット分解を用い、それをヘッセンバーグ多様体と交わらせてアフィンセルを構成する。
• トーラス作用とルート空間分解を適用し、半単純および冪零作用素に対するヘッセンバーグ多様体の構造を分析する。
• ルート系に基づくセル次元公式を用いる：半単純$M$に対しては$\dim(B\pi B \cap \mathcal{H}(M,H)) = |\Phi_\pi \cap \pi\mathcal{M}_H \cap \Phi_\mathfrak{n}| + |\Phi_\pi \cap \Phi_\mathfrak{l}|$であり、冪零$N$に対してはその変種を用いる。
• 共役による同型不変性を用い、標準形（半単純の場合は対角形、冪零の場合はジョルダン標準形）に還元する。
• デ・コンチーニ、ルシュティグ、プロセッチのスプリンガー層におけるアフィンパビングに関する結果を応用し、ヘッセンバーグ多様体へ一般化する。
• ヤング図形への組合せ的埋め込みを用いて、型$A_n$におけるセルを記述し、ベッチ数の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的型におけるヘッセンバーグ多様体は、ブルハット分解を用いてアフィン空間によるパビングが可能か？
• RQ2 ヘッセンバーグ多様体のパビングにおける各アフィンセルの次元は何か？
• RQ3 型$A_n$におけるヘッセンバーグ多様体のベッチ数は、どのように組合せ的に計算できるか？
• RQ4 型$A_n$におけるペトーセン多様体のポアンカーポリノミアルは何か？
• RQ5 パビング構成は、型$B_n$、$C_n$、$D_n$の正則冪零ヘッセンバーグ多様体へ拡張可能か？

主な発見

• 型$A_n$のすべてのヘッセンバーグ多様体は、ブルハット分解との交わりを通じてアフィン空間によるパビングをもつ。
• 型$B_n$、$C_n$、$D_n$における半単純ヘッセンバーグ多様体に対しても同様のパビングが可能であり、ルート系のデータを含む次元の公式が得られる。
• 古典的型における正則冪零ヘッセンバーグ多様体はアフィンセルによるパビングをもち、次元は$|\Phi_\pi| - |\mathcal{C}_{\pi \cdot H} \cap \Phi_{U_\pi \cdot N}|$で与えられる。
• 型$A_n$におけるペトーセン多様体のポアンカーポリノミアルは$\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}x^{2i}$として計算され、セル分解から得られる。
• 型$A_n$において、パビングのセルは特定のヤング図形への埋め込みに対応し、ベッチ数の明示的計算が可能になる。
• パビングはウェイル群の作用と整合的であり、コhomologyにおける置換統計量の幾何的実現を提供する。