[論文レビュー] Decomposing modular tensor products, and periodicity of `Jordan partitions'

S. P. Glasby, Cheryl E. Praeger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の整数の特徴において、単位的ジョルダンブロックのテンソル積から生じるジョルダン分割に関する新しい周期性および双対性の結果を確立する。固定された $ r $ に対して、乖離ベクトル $ \varepsilon(r,s,p) $ の数は有限である（最大 $ 2^{r-1} $ 個）ことが示され、すべての $ s \geq r $ および素数 $ p $ に対して $ \lambda(r,s,p) $ を計算する有限テーブルの構成が可能になる。これは、従来の結果が $ s $ を超える $ p $-冪に依存していたのを一般化するものである。

ABSTRACT

Let $J_r$ denote an $r imes r$ matrix over a finite field $F$ with minimal and characteristic polynomials $(t-1)^r$. Suppose $r\leq s$. It is not hard to show that the Jordan canonical form of $J_r\otimes J_s$ is similar to $J_{λ_1}\oplus\cdots\oplus J_{λ_r}$ where $λ_1\geq\cdots\geqλ_r>0$ and $\sum_{i=1}^rλ_i=rs$. The partition $λ(r,s,p):=(λ_1,\dots,λ_r)$ of $rs$, which depends only on $r,s$ and the characteristic $p$ of $F$, has many applications including to the study of algebraic groups. We prove new periodicity and duality results for $λ(r,s,p)$ that depend on the smallest $p$-power exceeding $r$. This generalizes results of J. A. Green, B. Srinivasan, and others which depend on the smallest $p$-power exceeding the (potentially large) integer $s$. We show that for fixed $r$ we can construct a finite table allowing the computation of $λ(r,s,p)$ for all $s$ with $s\geq r$, and all primes $p$. This generalizes work of K-i. Iima and R. Iwamatsu.

研究の動機と目的

• 固定された $ r $ に対して、$ \lambda(r,s,p) $ のジョルダン分割の周期性結果を、$ s $ を超える $ p $-冪に依存する従来の制限を超えて一般化すること。
• 固定された $ r $ に対して、異なる乖離ベクトル $ \varepsilon(r,s,p) $ の数が有限であることを確立し、アルゴリズム的計算を可能にすること。
• 固定された $ r $ に対して、すべての $ s \geq r $ および素数 $ p $ に対して $ \lambda(r,s,p) $ を計算する有限テーブルの構成を提供すること。
• グリーン、スリニヴァサランなどによる結果を、$ s $ ではなく $ r $ を超える最小の $ p $-冪に注目することで統一的かつ拡張すること。
• $ s $ と $ p $ が変化する際の $ \lambda(r,s,p) $ の計算複雑性を、乖離ベクトルのタイプの有限性を証明することで解消すること。

提案手法

• ジョルダンブロック $ J_r \otimes J_s $ の基底変換行列の部分行列の行列式 $ \delta_i $ を用いた再帰的計算。これらの値は $ \mathbb{F}_p $ に属する。
• 定理15で導出された再帰的関係式（$ \delta_i \neq 0 $ かどうかおよび以前の $ \delta_j $ の消滅パターンに依存）により、$ \lambda_i $ を段階的に計算可能となる。
• 乖離ベクトル $ \varepsilon(r,s,p) = (\lambda_i - s) $ の定義により、$ \lambda_i = s $ の均一な場合からの非一様性が分離される。
• $ s \mod p^m $ における周期性と双対性の応用により、特に $ p < r $ の場合に検査すべき $ s $-値の数を削減する。
• $ \Delta = \delta_1 \cdots \delta_{r-1} $ の因数分解により、$ \Delta $ を割る関係のある素数 $ p $ の数を有界化し、有限性を保証する。
• $ \mathbb{F}_p $ において $ \delta_r = 1 $ であるという事実を用いることで、再帰が正しく終了し、$ \lambda_i $ の逆方向計算を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $ r $ に対して、$ s $ や $ p $ に依存せずに、異なる乖離ベクトル $ \varepsilon(r,s,p) $ の数を一様に有界化できるか？
• RQ2 $ s \mod p^m $ における周期性が、すべての $ s \geq r $ およびすべての素数 $ p $ に対して $ \lambda(r,s,p) $ の有限計算を可能にするか？
• RQ3 従来の結果が $ s $ を超える $ p $-冪に依存していたのを、$ r $ を超える最小の $ p $-冪に依存するものに置き換えることは可能か？ これにより一般性が向上するか？
• RQ4 固定された $ r $ に対して、すべての $ s \geq r $ およびすべての素数 $ p $ に対して $ \lambda(r,s,p) $ を計算する有限テーブルを構成できるか？
• RQ5 $ r \to \infty $ のとき、異なる $ \varepsilon(r,s,p) $ ベクトルの数の漸近的成長はどのようになるか？

主な発見

• 固定された $ r $ に対して、$ s $ や $ p $ に依存せず、$ \varepsilon(r,s,p) $ の異なる乖離ベクトルは最大 $ 2^{r-1} $ 個である。これは、$ \mathbb{F}_p $ における行列式 $ \delta_1, \dots, \delta_{r-1} $ の消滅パターンの有限性に起因する。
• 定理15の再帰的関係により、$ \delta_i $（整数かつ $ \mathbb{F}_p $ に属する）を用いて、$ \lambda(r,s,p) $ を逆順に再帰的に計算可能である。
• $ p \geq r+s-1 $ のとき、$ \lambda(r,s,p) $ は標準的な分割 $ (r+s-1, r+s-3, \dots, s-r+1) $ に一致し、スリニヴァサランの結果を一般化する。
• $ p < r $ の場合、周期性により検査すべき $ s $-値の数は最大 $ p^m < r^2 $ 個に削減され、$ p \geq r $ の場合は定理2により $ s \in \{r, \dots, 2r-2\} $ のみを検査すれば十分である。
• $ \lambda(r,s,p) $ が非標準的であるような素数 $ p $ の数は、$ \Delta = \delta_1 \cdots \delta_{r-1} $ の素因数の数に依存し、これは $ r $ と $ s $ のみに依存するため、有限性が保証される。
• $ \varepsilon(r,s,p) $ ベクトルの異なる数を表す $ n_r $ について、$ n_r \leq 2^{r-1} $ が成り立ち、$ \lim_{r\to\infty} n_r / 2^{r-1} $ の極限が存在する可能性があるが、これは未解決の問題のままである。