[論文レビュー] Decomposing Permutation Automata

Ismaël Jecker, Nicolas Mazzocchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

semigroups and automata theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、置換DFAが合成可能かどうかを決定するNPアルゴリズムを提示し、拒否状態の数をパrameterとする固定パrameter tractable (FPT)アルゴリズムを導入する。可換な置換DFAの場合、問題はNL（固定アルファベットサイズではLOGSPACE）に属することが示され、k要因分解に制限を加えるとNP完全性を示し、このクラスにおける明確な複雑さの閾値を明らかにする。結果として、低計算複雑性にもかかわらず、タイトな複雑さの境界が確立され、非自明な構造的挙動が明らかになる。

ABSTRACT

A deterministic finite automaton (DFA) 𝒜 is composite if its language L(𝒜) can be decomposed into an intersection ⋂_{i = 1}^k L(𝒜_i) of languages of smaller DFAs. Otherwise, 𝒜 is prime. This notion of primality was introduced by Kupferman and Mosheiff in 2013, and while they proved that we can decide whether a DFA is composite, the precise complexity of this problem is still open, with a doubly-exponential gap between the upper and lower bounds. In this work, we focus on permutation DFAs, i.e., those for which the transition monoid is a group. We provide an NP algorithm to decide whether a permutation DFA is composite, and show that the difficulty of this problem comes from the number of non-accepting states of the instance: we give a fixed-parameter tractable algorithm with the number of rejecting states as the parameter. Moreover, we investigate the class of commutative permutation DFAs. Their structural properties allow us to decide compositionality in NL, and even in LOGSPACE if the alphabet size is fixed. Despite this low complexity, we show that complex behaviors still arise in this class: we provide a family of composite DFAs each requiring polynomially many factors with respect to its size. We also consider the variant of the problem that asks whether a DFA is k-factor composite, that is, decomposable into k smaller DFAs, for some given integer k ∈ ℕ. We show that, for commutative permutation DFAs, restricting the number of factors makes the decision computationally harder, and yields a problem with tight bounds: it is NP-complete. Finally, we show that in general, this problem is in PSPACE, and it is in LOGSPACE for DFAs with a singleton alphabet.

研究の動機と目的

• 置換DFAが合成可能かどうかを決定する計算複雑性を特定すること。
• 分解における要因の数を制限した場合（k要因合成問題）の影響を調査すること。
• 可換な置換DFAの構造的性質とその合成性への影響を探索すること。
• DFAの制限された部分クラスにおけるパラメータ化された tractability と複雑さの閾値を同定すること。
• タイトな複雑さの境界を提示し、低複雑さクラスにおける非自明な挙動を明らかにすること。

提案手法

• ヒット集合問題（HIT）からの還元を用いて、ヒット集合の存在と等価な合成可能性を持つ置換DFAを構築する。
• 置換オートマトンの群論的性質を用いて、短い語による状態カバレッジと遷移モノイド作用を特徴付ける。
• ベズーの等式を用いて、構築されたオートマトンにおける特定の拒否状態がどの語でカバーされるかを分析する。
• 可換性と群構造を活用し、アルファベットサイズが固定の場合、問題がNLに属し、さらにLOGSPACEに属することを示す。
• 集合サイズが有界なHITからの還元を用いて、可換な置換DFAにおけるk要因分解のNP完全性を証明する。
• 短い語によるカバレッジと状態遷移ダイナミクスを用いて、拒否状態が語によってカバーされる条件を特徴づけ、HITへの還元を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換DFAの合成可能性問題はNPに属するか。また、拒否状態の数をパrameterとするパラメータ化された複雑さはいかなるものか。
• RQ2 可換な置換DFAにおけるk要因合成問題の正確な複雑さは何か。一般の場合とはどのように異なるか。
• RQ3 可換な置換DFAの構造的性質を活用することで、NLやLOGSPACEといった低い複雑さクラスに到達可能か。
• RQ4 可換な置換DFAの合成的クラスに属する家族は、そのサイズに対して多項式的に多くの要因を必要とするか。これは分解の効率性にどのような意味を持つのか。
• RQ5 要因の数を制限した場合、分解問題の複雑さ境界はどのように変化するのか。複雑さの急増はどのような要因によるのか。

主な発見

• 置換DFAの合成可能性問題はNPに属し、拒否状態の数をパrameterとする固定パラメータ tractable (FPT)アルゴリズムを有する。
• 可換な置換DFAの場合、合成可能性問題はNLに属し、アルファベットサイズが固定の場合、LOGSPACEに属する。
• 可換な置換DFAにおけるk要因合成問題はNP完全である。これは、要因数が制限された場合に明確な複雑さの閾値が存在することを示唆する。
• サイズに対して多項式的に多くの要因を必要とする合成的可換な置換DFAの族が存在し、分解の複雑さが非自明であることを示している。
• ヒット集合問題からの還元により、タイトな複雑さ境界が確立される。要因数が制限された場合、可換な置換DFAの合成可能性はNP完全である。
• NLやLOGSPACEといった低複雑さクラスにもかかわらず、可換な置換DFAのクラスは、分解に多項式的に多くの要因を必要とするなど、複雑な挙動を示す。