[論文レビュー] One-way quantum finite automata together with classical states

Daowen Qiu, Paulo Mateus+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、古典的状態を組み込んだ片方向量子有限オートマトン（1QFAC）というハイブリッドモデルを導入し、すべての正則言語を認識する。1QFACは、決定的有限オートマトン（DFA）と比較して指数的になめらかに表現可能であり、すべての正則言語を有界誤差で認識可能であり、EXPSPACE内に収まる効率的な同値性検査および状態最小化のアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

We show that there are quantum devices that accept all regular languages and that are exponentially more concise than deterministic finite automata (DFA). For this purpose, we introduce a new computing model of {\it one-way quantum finite automata} (1QFA), namely, {\it one-way quantum finite automata together with classical states} (1QFAC), which extends naturally both measure-only 1QFA and DFA and whose state complexity is upper-bounded by both. The original contributions of the paper are the following. First, we show that the set of languages accepted by 1QFAC with bounded error consists precisely of all regular languages. Second, we prove that 1QFAC are at most exponentially more concise than DFA. Third, we show that the previous bound is tight for families of regular languages that are not recognized by measure-once (RMO), measure-many (RMM) and multi-letter 1QFA. % More concretely we exhibit regular languages $L^0(m)$ for $m$ prime such that: (i) $L^0(m)$ cannot be recognized by measure-once, measure-many and multi-letter 1QFA; (ii) the minimal DFA that accepts $L^0(m)$ has $O(m)$ states; (iii) there is a 1QFAC with constant classical states and $O(\log(m))$ quantum basis that accepts $L^0(m)$. Fourth, we give a polynomial-time algorithm for determining whether any two 1QFAC are equivalent. Finally, we show that state minimization of 1QFAC is decidable within EXPSPACE. We conclude the paper by posing some open problems.

研究の動機と目的

• 測定のみの片方向量子有限オートマトン（1QFA）と決定的有限オートマトン（DFA）を統合する新しい量子オートマトンモデルを開発すること。
• 1QFACが有界誤差ですべての正則言語を認識可能であり、既存の1QFAモデルの表現力の拡張を示すこと。
• 特定の正則言語に対して、1QFACが古典的DFAと比較して指数的状態圧縮を達成できることを確立すること。
• 1QFACの同値性検査および状態最小化のための効率的アルゴリズムを提供し、計算複雑性の上限を示すこと。

提案手法

• 量子基底状態と古典的制御状態を組み合わせた1QFACをモデルとして導入し、量子の進化はユニタリであり、測定は射影的であることを定義する。
• 遷移メカニズムを定義：古典的状態がユニタリ操作を介して量子状態の進化を制御し、測定の結果が古典的状態を更新する。
• 言語固有の性質を表現するために、サイズO(log m)の量子基底状態を用い、複雑な正則言語のコンパクト表現を可能にする。
• mが素数である場合の言語L⁰(m)について、明示的な1QFACを構築し、定数個の古典的状態とO(log m)の量子基底状態で十分であることを示す。
• 2つの1QFACの同値性を検査する多項式時間アルゴリズムを設計し、遷移構造と受理構造を比較する。
• 代数的およびオートマトン理論的技法を用いて、1QFACの状態最小化がEXPSPACE内で決定可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的制御を持つ量子オートマトンモデルは、有界誤差ですべての正則言語を認識可能か？
• RQ2 正則言語に対して、1QFACの状態複雑度は古典的DFAと比較してどの程度か？
• RQ3 測定一回型、測定多数型、マルチリテラル1QFAでは認識できないが、1QFACでは認識可能な正則言語は存在するか？
• RQ4 2つの1QFACの同値性は効率的に判定可能か？また、1QFACの最小化の計算複雑度は何か？
• RQ5 1QFACの状態最小化問題は決定可能か？その複雑度は何か？

主な発見

• 有界誤差で1QFACが認識可能な言語の集合は、まさにすべての正則言語の集合に一致する。
• 1QFACはDFAと比較して指数的に簡潔に表現可能である：mが素数のL⁰(m)に対して、最小DFAはO(m)状態を必要とするが、1QFACはO(log m)の量子基底状態と定数個の古典的状態で十分である。
• L⁰(m)（mが素数）のような正則言語が存在し、これらは測定一回型、測定多数型、マルチリテラル1QFAでは認識不可能であるが、1QFACでは認識可能であり、1QFACの厳密な表現力の向上を示している。
• 2つの1QFACが同値であるかどうかを判定する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 1QFACの状態最小化は決定可能であり、EXPSPACE複雑度クラスに属する。
• L⁰(m)の言語族によって、1QFACがDFAに比べて達成可能な状態圧縮の上界がタイトであることが示された。