[論文レビュー] Decomposition spaces, incidence algebras and Möbius inversion

Maria Immaculada Gálvez Carrillo, Joachim Kock+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 49被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、弱化されたセガール条件を満たす単体的インfinity-群体（decomposition spaces）を導入し、インシデント代数とムービウス反転の一般化枠組みを提示する。これは古典的理論とホモトピー論的メソッドを統合するものであり、ムービウス区間が分解空間をなすことを示し、普遍的なホップ代数（普遍的ムービウス関数を含む）を構成する。これは古典的設定を超えたムービウスカテゴリの概念を拡張する。

ABSTRACT

We introduce the notion of decomposition space as a general framework for incidence algebras and Mobius inversion: it is a simplicial infinity-groupoid satisfying an exactness condition weaker than the Segal condition, which expresses decomposition. We work on the objective level of homotopy linear algebra with coefficients in infinity-groupoids, developed along the way. To any (complete) decomposition space there is associated an incidence (co)algebra (with coefficients in infinity-groupoids), shown to satisfy a sign-free version of the Mobius inversion principle. Examples of decomposition spaces beyond Segal spaces are given by the Waldhausen S-construction and by Schmitt restriction species. Imposing certain homotopy finiteness conditions yields the notion of Mobius decomposition space, an extension of the notion of Mobius category of Leroux. We take a functorial viewpoint throughout, emphasising conservative ULF functors, and show that most reduction procedures in the classical theory are examples of this notion, and in particular that many are examples of decalage of decomposition spaces. Our main theorem concerns the Lawvere-Menni Hopf algebra of Mobius intervals, which contains the universal Mobius function (but does not come from a Mobius category): we establish that Mobius intervals form a decomposition space, which is in some sense universal. NOTE: The notion of decomposition space was arrived at independently by Dyckerhoff and Kapranov (arXiv:1212.3563) who call it unital 2-Segal space. Our theory is quite orthogonal to theirs.

研究の動機と目的

• インシデント代数とムービウス反転を古典的posetを超えて一般化するため、ホモトピー論的枠組みとして分解空間を導入すること。
• インフィニティ-群体に係数をとるインシデント（余）代数の理論を構築し、符号なしのムービウス反転を可能にする。
• ホモトピー有限な分解空間を用いてムービウスカテゴリの概念を拡張し、ムービウス分解空間を定義すること。
• インシデント理論における古典的還元手続きが、分解空間のデカルージュ操作として自然に現れることを示すこと。
• ムービウス区間のLawvere-Menniホップ代数が、普遍的分解空間から生じることを確立すること。

提案手法

• セガール空間の一般化として、弱い正確性条件を満たす単体的インフィニティ-群体として分解空間を定義する。
• インフィニティ-群体に係数をとるホモトピー線形代数を用い、分解空間からインシデント（余）代数を構成する。
• ホモトピー有限性条件を用いてムービウス分解空間を定義し、レラウのムービウスカテゴリをホモトピー的設定に拡張する。
• 保守的ULF関手を用いて、インシデント理論における還元手続きを分解空間上のデカルージュ操作として形式化する。
• ムービウス区間の圏が分解空間をなすこと、その普遍的性質を用いて証明する。
• この分解空間のインシデント代数として実現されたLawvere-Menniホップ代数を用いて、普遍的ムービウス関数を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インシデント代数とムービウス反転は、高階圏的構造を用いてposetを超えて一般化可能か？
• RQ2 インシデント理論における古典的還元手続きは、デカルージュのようなカテゴリカル構成とどのように関係するか？
• RQ3 Lawvere-Menniホップ代数の背後にある普遍的構造は存在するか？
• RQ4 分解空間を用いてムービウスカテゴリの概念をホモトピー的設定に拡張可能か？
• RQ5 保守的ULF関手は、インシデント理論的構成を統合するために果たす役割は何か？

主な発見

• ムービウス区間の圏は分解空間をなし、ムービウス反転の普遍的枠組みを提供する。
• Lawvere-Menniホップ代数は、この普遍的分解空間のインシデント代数として生じ、普遍的ムービウス関数を含む。
• 分解空間はセガール空間を一般化し、インフィニティ-群体に係数をとるインシデント（余）代数を支持する。
• インシデント理論における古典的還元手続きが、分解空間のデカルージュの例として示された。
• ムービウス分解空間はホモトピー有限性条件により定義され、レラウのムービウスカテゴリがホモトピー的設定に拡張される。
• ホモトピー線形代数の枠組み内で、符号なしのムービウス反転原理の理論が達成された。