[論文レビュー] Decorated one-dimensional cobordisms and tensor envelopes of noncommutative recognizable power series

Mikhail Khovanov|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換認識可能級数と装飾付き1次元コボルディズムの間の圏的枠組みを確立し、普遍的構成を用いてテンソル包あらわし、テンソル包を普遍的構成によって構成する。ラベル付き境界点と浮遊成分を備えたコボルディズムの圏を導入し、スキーン圏とその商が文法的代数とデリーニュ型の圏を回復することを示し、対称的評価とイデアル商の下でも同値性が保たれることを示す。

ABSTRACT

The paper explores the relation between noncommutative power series and topological theories of one-dimensional cobordisms decorated by labelled zero-dimensional submanifolds. These topological theories give rise to several types of tensor envelopes of noncommutative recognizable power series, including the categories built from the syntactic algebra and syntactic ideals of the series and the analogue of the Deligne category.

研究の動機と目的

• 非可換認識可能級数を装飾付き1次元コボルディズムを用いて普遍的構成で形式化すること。
• スキーン圏と滑らか化商を用いて、このような級数のテンソル包を定義すること。
• 内部（浮遊）境界と対称的評価を含めるために構成を一般化すること。
• 得られる圏が文法的代数やデリーニュ型の圏といった既知の代数的構造を回復することを示すこと。
• 有限次元代数上の関数型の対を用いた一対の関数型を通じて理論を統一することにより、級数のアプローチを一般化すること。

提案手法

• 境界点にラベルが付いた1次元コボルディズムと浮遊成分を備えたコボルディズムの圏 $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$, および $\widetilde{\mathcal{C}}$ を構成する。
• 非可換級数 $\alpha = (\alpha^\bullet, \alpha^\circ)$ を用いて閉じたコボルディズムの評価を定義する。ここで $\alpha^\bullet$ は語上の線形汎関数、$\alpha^\circ$ は巡回語上の線形汎関数である。
• 評価から導かれる関係によって自由圏を商することで、スキーン圏 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ を構成する。
• テンソル包 $\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}_{(0,\alpha^\circ)}$, $\underline{\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}}_{(0,\alpha^\circ)}$, および $\mathcal{D}\mathcal{C}_{\alpha^\circ}$ を定義し、それらが対称的ケースにおける同様の対応と同型であることを示す。
• 文法的イデアル $I_{\alpha^\bullet}, I_{\alpha^\circ}, I^{\ell}_{\alpha^\bullet}, I^{r}_{\alpha^\bullet}$ を用いて滑らか化商 $\mathcal{C}_\alpha$ を定義し、級数の代数的構造を捉える。
• 生成元 $S$ を全代数に置き換えることで、関数型 $\alpha^\bullet, \alpha^\circ$ を備えた結合的 $\mathbf{k}$-代数 $B$ に対して構成を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換認識可能級数は、装飾付き境界を持つトポロジカルコボルディズム理論を通じてどのように圏的に表現可能か？
• RQ2 浮遊成分を備えた装飾付き1次元コボルディズムに普遍的構成を適用した場合、どのようなテンソル圏が生じるか？
• RQ3 スキーン圏 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 及びその商は、文法的代数とデリーニュ圏とどのように関係するか？
• RQ4 対称的関数型 $\alpha^\circ$ は、不変評価とテンソル包間の同型を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 自由代数から生成されたものから、有限次元代数とトレース関数型を備えた任意の代数への構成の一般化は可能か？

主な発見

• ペア $\alpha = (\alpha^\bullet, \alpha^\circ)$ に付随するスキーン圏 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ は、級数の文法的代数とイデアルによって構成される圏と同値である。
• テンソル包 $\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}_{(0,\alpha^\circ)}$, $\underline{\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}}_{(0,\alpha^\circ)}$, および $\mathcal{D}\mathcal{C}_{\alpha^\circ}$ は互いに同型であり、異なる構成法間の整合性を示している。
• $\alpha^\circ = 0$ のとき、圏 $\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ は非ゼロの $U$-ターンを許容し、円の評価はゼロとなる。これは巡回的対称性の欠如を反映している。
• $S = \emptyset$ のとき、非向き付きスキーン圏 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ は部分ブラウアー圏（またはルック＝ブラウアー圏）と同型であり、既知の構造が回復される。
• $S = \{s\}$ のとき、級数 $\alpha$ は二つの有理関数 $Z_{\alpha^\bullet}(T)$ と $Z_{\alpha^\circ}(T)$ によって記述され、この構成が有理型母関数と関連している。
• 有限次元 $\mathbf{k}$-代数 $B$ と二つの関数型 $\alpha^\bullet, \alpha^\circ$ に対して構成を一般化でき、生成集合 $S$ を選ぶと、その結果得られる圏は級数から得られるものと同値である。