[論文レビュー] Deep-learning based numerical BSDE method for barrier options

Bing Yu, Xiaojing Xing+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、バリアオプションの価格設定のための深層学習ベースの数値的手法を提案している。偏微分方程式（PDE）の終期条件および境界条件を、標準的な後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）問題に再定式化することで実現している。バリア違反確率をブラウン運動ブリッジを用いて終期条件に埋め込むことで、ニューラルネットワークがBSDE内のZプロセスを近似し、多様な市場状況において高い精度を達成している。特にバッチ正規化を用いることで収束安定性が向上している。

ABSTRACT

As is known, an option price is a solution to a certain partial differential equation (PDE) with terminal conditions (payoff functions). There is a close association between the solution of PDE and the solution of a backward stochastic differential equation (BSDE). We can either solve the PDE to obtain option prices or solve its associated BSDE. Recently a deep learning technique has been applied to solve option prices using the BSDE approach. In this approach, deep learning is used to learn some deterministic functions, which are used in solving the BSDE with terminal conditions. In this paper, we extend the deep-learning technique to solve a PDE with both terminal and boundary conditions. In particular, we will employ the technique to solve barrier options using Brownian motion bridges.

研究の動機と目的

• 境界条件と終期条件を併せ持つバリアオプションの価格設定という課題に、機械学習を用いて対処すること。
• 従来、終期条件のPDEに限られていた深層学習ベースのBSDEフレームワークを、ディリクレ型境界条件を扱えるように拡張すること。
• 複雑な境界制約下でのオプション価格設定のためのニューラルネットワークの学習における収束性および安定性を向上させること。
• 広範な市場パラメータの範囲で、解析的解との比較を通じて本手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• バリア違反確率をブラウン運動ブリッジを用いて組み込むことで、バリアオプションのPDEを終期条件を伴うBSDEに再定式化する。
• 時間依存のバッチ正規化パラメータ β_{t_i} を用いて、θでパrameter化されたZプロセスをニューラルネットワークで近似する。
• オイラースキームを用いて、前向きプロセス（X_t）および後向きプロセス（Y_t, Z_t）を離散時間ステップに分割する。
• 終期条件誤差に基づく損失関数 E[(Y_T - h(X_T))²] を定義し、確率的勾配降下法で最小化する。
• 各層または入力層でのみバッチ正規化を適用することで、共変量シフトを低減し、収束を加速する。
• 確率的恒等式（補題2）を用いて、バリアイベントを含む条件付き期待値を、全確率空間上の期待値に変換し、計算が可能になるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 深層学習ベースのBSDEフレームワークは、バリアオプションに見られるような境界条件を伴うPDEに対しても拡張可能か？
• RQ2 反射BSDEやペナルティ関数を用いずに、境界条件をBSDEの終期条件に埋め込むにはどうすればよいか？
• RQ3 バッチ正規化は、複雑な境界制約下でのオプション価格設定のためのニューラルネットワーク学習における収束性および安定性をどのように向上させるか？
• RQ4 本手法の性能は、多様な市場状況において解析的解と比較してどの程度の水準にあるか？

主な発見

• 100件のテストケースにおいて平均で1%未満の相対誤差を達成し、中央値は0.39%、第25百分位数は0.21%であった。
• 高ボラティリティまたは極端なマネーニング状態の孤立ケースでは、バッチ正規化なしでは18%を超える相対誤差が発生したが、バッチ正規化を適用すると0.65%に低下した。
• 層ごとのバッチ正規化と比較して、入力層でのみバッチ正規化を適用した場合、総学習時間を約3倍短縮（75秒 vs. 200秒）できた。ただし、反復回数は増加した。
• ブラウン運動ブリッジの使用により、境界条件が終期条件に効果的に埋め込まれ、損失関数を変更せずに標準的な深層BSDEフレームワークをそのまま利用可能になった。
• 本手法は、満期、ストライク価格、ボラティリティの広範な範囲で一貫性を保ち、高次元またはパス依存設定でも安定した性能を示した。
• 補題2による理論的裏付けにより、条件付き期待値から無条件期待値への変換が数学的に妥当かつ計算可能であることが保証された。