[論文レビュー] Definable retractions over complete fields with separated power series

Krzysztof Jan Nowak|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分離されたべき級数を備えた完備非アルキメデス体において、埋め込み的特異点解消、価体の量化子の消去、準有理的部分域といった道具を用いて、任意の閉かつ定義可能部分集合への定義可能リトラクションの存在を確立する。主な結果は、Denef–Pas言語枠組みにおけるティエッチェ–ウリゾフおよびデュガンジの拡張定理の非アルキメデス的定義可能類似定理である。

ABSTRACT

Let $K$ be a complete non-Archimedean field $K$ with separated power series, treated in the analytic Denef--Pas language. We prove the existence of definable retractions onto an arbitrary closed definable subset of $K^{n}$, whereby definable non-Archimedean versions of the extension theorems by Tietze--Urysohn and Dugundji follow directly. We reduce the problem to the case of a simple normal crossing divisor, relying on our closedness theorem and desingularization of terms. The latter result is established by means of the following tools: elimination of valued field quantifiers (due to Cluckers--Lipshitz--Robinson), embedded resolution of singularities by blowing up (due to Bierstone--Milman or Temkin), the technique of quasi-rational subdomains (due to Lipshitz--Robinson) and our closedness theorem.

研究の動機と目的

• 完備非アルキメデス体に分離されたべき級数が備わった閉かつ定義可能部分集合への定義可能リトラクションを確立すること。
• 古典的なティエッチェ–ウリゾフおよびデュガンジの拡張定理の非アルキメデス的定義可能類似定理を提供すること。
• 特異点解消と閉性定理を用いて、一般のリトラクション問題を単純な正則交差除集合のケースに還元すること。
• 価体の量化子の消去や解析的閉性定理といったモデル理論的道具を、非アルキメデス幾何学に応用すること。

提案手法

• 閉性定理と項の特異点解消を用いて、リトラクション問題を単純な正則交差除集合のケースに還元すること。
• 準コンパactな剛体的解析的空間における吹き上げを用いた埋め込み的特異点解消の適用。
• 準有理的部分域の利用による定義可能集合およびその位相的構造の制御。
• Denef–Pas言語における価体の量化子の消去を用いて、定義可能条件の単純化。
• 準有理的部分域の閉開被覆上での帰納的グルーピングによるリトラクションの構成。
• 解析的閉性定理の使用により、価値の帰属による標準位相と解消の整合性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離されたべき級数を備えた完備非アルキメデス体において、任意の閉かつ定義可能部分集合への定義可能リトラクションが存在しうるか？
• RQ2 ティエッチェ–ウリゾフおよびデュガンジの拡張定理は、定義可能かつ非アルキメデス的設定においてどのように一般化できるか？
• RQ3 単純な正則交差除集合は、一般のリトラクション問題を扱いやすいケースに還元するために果たす役割は何か？
• RQ4 量化子の消去や閉性定理といったモデル理論的道具は、幾何的解消技術とどのように相互作用するか？
• RQ5 このような体上の単位球体や射影空間の積において、定義可能リトラクションはどの程度構成可能か？

主な発見

• Corollary 1.2で述べられるように、$K^n$ の任意の閉 $ι$-定義可能部分集合 $A$ から $A$ への $ι$-定義可能リトラクションが存在する。
• $(K^\circ)^N$, $(K^{\circ\circ})^N$, $\mathbb{P}^n(K)$ およびそれらの積における閉かつ定義可能部分集合への定義可能リトラクションの存在が確立される。
• 埋め込み的特異点解消と閉性定理を用いて、リトラクション問題は単純な正則交差除集合のケースに還元される。
• $Z$ と解消の除集合が同時に単純な正則交差構成を持つ場合、$Z$ を除いた空間であっても定義可能リトラクションが存在する。
• リトラクションは、準有理的部分域の閉開被覆上での帰納的構成に依拠し、ホメオモルフィズムと定義可能写像によるグルーピングが行われる。
• 後続の研究 [13] で示されるように、結果は一般のヘンゼル的価体に解析的構造を備えた場合にも拡張可能であり、広範な適用可能性が確認されている。