[論文レビュー] Deflection angle of charged massive particles in slowly rotating Kerr-Newman space-times via Gauss-Bonnet theorem and Hamilton-Jacobi method

Kimet Jusufi|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Astrophysical Phenomena and Observations被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、2つの手法を用いて、ゆっくり回転するカー＝ニューマンブラックホールにおける相対論的で電荷を帯びた質量を持つ粒子の重力レンズ効果の偏角を計算している。1つは光の幾何学に適用されるガウス＝ボンネの定理、もう1つはハミルトニアン＝ヤコビ法である。偏角はブラックホールの質量 $M$、角運動量 $a$、電気的電荷 $Q^2$、磁気的電荷 $P^2$、粒子の電荷 $q$、相対論的速度 $v$ に依存しており、速度に依存する補正においても形式が不変であることが示された。

ABSTRACT

In this paper the problem of gravitational deflection of relativistic charged massive particles in slowly rotating Kerr-Newman black holes is considered. Toward this purpose we have used two methods: Firstly, we have applied the Gauss-Bonnet theorem (GBT) and the optical geometry to evaluate the deflection angle of charged particles. Secondly, we have presented a detailed analysis of the deflection angle by means of the Hamilton-Jacobi equation recovering the same invariant result for the deflection angle in leading order terms. The crucial point behind the first method is to use the correspondence between the motion of a charged massive particles in a gravitational field in presence of electromagnetic field and the motion of photons in a non-homogeneous cold plasma. It is shown that the deflection angle besides the black hole (BH) mass $M$, BH angular momentum $a$, BH electric charge $Q^2$, BH magnetic charge $P^2$, it is also affected by the electric charge of the particle $q$ and relativistic velocity of the particle $v$.

研究の動機と目的

• 静的時空における質量を持つ粒子の偏角に関する先行研究を、回転し、電荷を持つカー＝ニューマンブラックホールへと拡張すること。
• ブラックホールの電気的および磁気的電荷、および粒子の電荷と速度が重力レンズ効果に与える影響を調査すること。
• ガウス＝ボンネの定理による光学幾何学とハミルトニアン＝ヤコビ方程式の2つの独立した手法を用いて、偏角を検証すること。
• 相対論的速度と粒子の電荷が光の極限を超えて偏角をどのように変化させるかを調査すること。
• 偏角が速度に依存する補正に対して形式が不変であることを示し、レンズ効果のグローバルな幾何的性質を強調すること。

提案手法

• カー＝ニューマン時空から導かれる光学計量にガウス＝ボンネの定理（GBT）を適用し、電荷を帯びた質量を持つ粒子の運動を、非均一なプラズマ中での光の伝播と同等とみなす。
• 重力場と電磁場の中での非測地的運動を有する電荷を帯びた質量を持つ粒子と、有効屈折率を持つプラズマ中での光の伝播との間の対応関係を用いる。
• 赤道面（$\theta = \pi/2$）における光学計量を構築し、ブラックホールの角運動量 $a$ について線形化することで計算を簡略化する。
• ガウス曲率を光学的表面全体にわたって積分し、GBTを用いて偏角を計算する。この際、粒子の速度 $v$ と電荷 $q$ を考慮する。
• ハミルトニアン＝ヤコビ方程式をカー＝ニューマン背景での粒子の作用について解くことにより、同じ偏角を再現する。
• 両手法の結果を比較することで、一貫性を確認し、速度および電荷補正に対して偏角の式が形式不変であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的で電荷を帯びた質量を持つ粒子の偏角は、ブラックホールの質量、角運動量、および電気的・磁気的電荷にどのように依存するか？
• RQ2 粒子自身の電気的電荷 $q$ と相対論的速度 $v$ は、カー＝ニューマン時空における重力レンズ効果にどの程度影響を及えるか？
• RQ3 ガウス＝ボンネの定理は、光のケースを超えて、定常時空における質量を持ち電荷を帯びた粒子の偏角を計算するために成功裏に適用可能か？
• RQ4 磁気的電荷 $P^2$ の導入が偏角に与える影響は何か？また、この影響は電気的電荷の寄与と区別可能か？
• RQ5 偏角の式は速度に依存する補正に対して形式不変であるか？そして、これはレンズ効果のグローバルな幾何的解釈を支持するか？

主な発見

• 偏角は $\hat{\alpha} \simeq \frac{2M}{b}\left(1+\frac{1}{v^{2}}\right) - \frac{\pi Q^{2}}{4b^{2}}\left(1+\frac{2}{v^{2}}\right) - \frac{2qQ}{bv^{2}E} - \frac{3\pi qMQ}{b^{2}E\,v^{2}} \pm \frac{4aM}{b^{2}v} \pm \frac{Q^{2}a\pi}{b^{3}v}$ で与えられ、$M$, $a$, $Q^2$, $q$, $v$, $E$ に依存している。
• 磁気的電荷 $P^2$ の導入により、$\tilde{Q}^{2}_{m} = Q^2 + P^2$ を用いて偏角が変更され、$\tilde{Q}^{2}_{m}$ が大きくなるほど $\hat{\alpha}$ が増加する。
• 粒子の速度 $v$ が小さくなるほど偏角が増大し、$v \to c$ の極限では光の偏角に近づく。
• ハミルトニアン＝ヤコビ法により、GBTと同一の偏角が再現され、結果の一貫性と妥当性が確認された。
• 速度および電荷補正に対して偏角の式が形式不変のままであることが示され、グローバルな幾何的効果がレンズ効果の挙動を支配していることが示唆された。
• 非相対論的粒子（$v \to 0$）では、偏角の式に特異点が現れるため、本手法は相対論的で電荷を帯びた粒子に限定して有効である。