[論文レビュー] DEFORMATION OF OUTER REPRESENTATIONS OF GALOIS GROUP

Arash Rastegar|arXiv (Cornell University)|May 15, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、数体上の双曲的曲線に関連する非アーベル的外ガロア表現の非可換変形を研究するために、有限次元成分をもつ順位付きリー代数の新しい算術的変形理論を導入する。この理論により、ジャコビアンのテートモジュールから生じる古典的アーベル的変形とは対照的に、はるかに豊かな構造が得られることを示し、古典的ガロアモジュール理論を超えた非可換算術幾何学の発展がなされる。

ABSTRACT

To a hyperbolic smooth curve defined over a number-field one naturally associates an anabelian representation of the absolute Galois group of the base field landing in outer automorphism group of the algebraic fundamental group. In this paper, we introduce several deformation problems for Lie-algebra versions of the above representation and show that, this way we get a richer structure than those coming from deformations of abelian Galois representations induced by the Tate module of associated Jacobian variety. We develop an arithmetic deformation theory of graded Lie algebras with finite dimensional graded components to serve our purpose.

研究の動機と目的

• 双曲的曲線の基本群上のガロア群の外的表現の背後にあるリー代数的構造の変形理論を構築すること。
• ジャコビアンのテートモジュールから生じるアーベル的表現を超えて、古典的変形理論を拡張すること。
• 非可換的・外的ガロア表現に注目することで、変形空間により豊かな算術的情報を捉えること。
• 有限次元の順位付き成分をもつ順位付きリー代数を算術的文脈で研究するための枠組みを確立すること。
• アーベルの幾何学における非可換算術的変形理論の構造的基盤を提供すること。

提案手法

• ベース環上の有限次元順位付き成分をもつ順位付きリー代数の変形函手を構成すること。
• リー代数コホモロジーを用いて変形を制御するコホモ論的障害理論を定義すること。
• 変形空間に順位付きリー代数構造を導入し、算術的対称性を符号化すること。
• 双曲的曲線の代数的基本群上のガロア群の外的表現に理論を適用すること。
• 得られた変形空間をジャコビアンのテートモジュールからの古典的アーベル的変形と比較すること。
• 順位構造を用いて、アーベル的設定では見えない非可換的寄与を区別すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の順位付き成分をもつリー代数の変形理論は、テートモジュール変形によって得られるものより、非可換的算術的情報をさらに捉えることができるか？
• RQ2 リー代数的構造とアーベル的ガロアモジュールの両方で分析した場合、外的ガロア表現の変形空間はどのように異なるか？
• RQ3 順位付きリー代数構造は、数体上の双曲的曲線の算術をどのように符号化しているか？
• RQ4 新しい変形不変量は、古典的ガロアコホモロジーに比べて、どれほど細かな算術的データを検出できるか？
• RQ5 この枠組みは、曲線の基本群を超える他の非可換算術的対象に対しても一般化可能か？

主な発見

• 順位付きリー代数による外的ガロア表現の変形空間は、テートモジュールからのアーベル的表現の変形空間よりも、はるかに豊かな算術的情報を含んでいる。
• 理論により、古典的アーベル的設定では見えない非可換的寄与が変形空間に明らかにされる。
• リー代数の有限次元順位付き成分のおかげで、算術的文脈において制御可能で計算可能な変形理論が可能になる。
• 開発されたコホモ論的障害理論により、変形の存在性と一意性を体系的に分析する方法が得られる。
• この枠組みにより、アーベル的および非可換的変形理論の構造的比較が可能になる。
• 結果として、リー理論的アプローチによる非可換算術の研究の新しい基盤が確立される。