[論文レビュー] Strong connections and the relative Chern-Galois character for corings

Gabriella Böhm, Tomasz Brzeziński|ArXiv.org|Mar 22, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換環上の絡みあい構造（entwined extensions）に対して、コールージェブリック（coring）における強い接続を用いて、相対的チェーン＝ガロア指標を構築する。これは非可換幾何学的手法を深さ2のフロベニウス的かつ分離的拡大へ一般化する。主な貢献は、有限生成射影余加群のグロテンディーク群から偶数次相対的循環ホモロジーへの写像の族を構成することであり、適切な平坦性および分離条件のもとで、その写像が強い接続の選び方に依存しなくなることである。

ABSTRACT

The Chern-Galois theory is developed for corings or coalgebras over non-commutative rings. As the first step the notion of an entwined extension as an extension of algebras within a bijective entwining structure over a non-commutative ring is introduced. A strong connection for an entwined extension is defined and it is shown to be closely related to the Galois property and to the equivariant projectivity of the extension. A generalisation of the Doi theorem on total integrals in the framework of entwining structures over a non-commutative ring is obtained, and the bearing of strong connections on properties such as faithful flatness or relative injectivity is revealed. A family of morphisms between the K0-group of the category of finitely generated projective comodules of a coring and even relative cyclic homology groups of the base algebra of an entwined extension with a strong connection is constructed. This is termed a relative Chern-Galois character. Explicit examples include the computation of a Chern-Galois character of depth 2 Frobenius split (or separable) extensions over a separable algebra R. Finitely generated and projective modules are associated to an entwined extension with a strong connection, the explicit form of idempotents is derived, the corresponding (relative) Chern characters are computed, and their connection with the relative Chern-Galois character is explained.

研究の動機と目的

• 体から非可換基底環へのチェーン＝ガロア指標形式の拡張を、絡みあい構造（entwining structure）の枠組み内で行う。
• 強い接続、ガロア性、および絡みあい拡大における等変射影性の間の関係を確立する。
• 余加群のK理論から相対的循環ホモロジーへの相対的チェーン＝ガロア指標を構成する。
• 平坦性および分離条件のもとで、指標が強い接続の選び方に依存しなくなることを示す。
• クロフトホイフ・アレブロイド拡大および深さ2のフロベニウス分離拡大に対して、指標の明示的計算を提供する。

提案手法

• 非可換環上での双射絡みあい構造内に、絡みあい拡大（entwined extension）としての代数を導入する。
• ホイフ＝ガロア理論における接続の概念を一般化するため、双射絡みあい構造内に強いT-接続を定義する。
• 一般化されたクンツ＝クイレンの定理を用いて、強い接続と等変射影性、ガロア性の関係を関係づける。
• コールージェブリックCの有限生成射影余加群から、基底代数BのT相対的循環複体内の偶数次サイクルを構成する。
• K₀(C)から偶数次T相対的循環ホモロジー群HC₂ₙ(B|T)への写像の族として、相対的チェーン＝ガロア指標を定義する。
• 標準的エピモルフィズムλ*: HC*(B) → HC*(B|T)を適用し、イデムポテンス代表元に依存しないチェーン指標の不変性を用いて、接続の選び方による不変性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換基底環上の絡みあい拡大へ、チェーン＝ガロア指標をどのように一般化できるか？
• RQ2 絡みあい拡大における強い接続、ガロア性、および等変射影性の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 相対的チェーン＝ガロア指標が強い接続の選び方に依存しなくなる条件は何か？
• RQ4 クロフトホイフ・アレブロイド拡大および深さ2のフロベニウス分離拡大に対して、チェーン＝ガロア指標の明示的形をどのように計算できるか？
• RQ5 相対的チェーン＝ガロア指標と基底代数Bの相対的チェーン指標との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 定理3.7により、強いT-接続が存在するための必要十分条件は、絡みあい拡大がガロア的かつ等変射影的であることである。
• 定理5.4で導出された明示的公式を用いて、K₀(C)から偶数次T相対的循環ホモロジー群HC₂ₙ(B|T)への写像の族として、相対的チェーン＝ガロア指標が構成される。
• クロフトホイフ・アレブロイド拡大および深さ2のフロベニウス分離拡大に対して、指標が明示的に計算され、Bの相対的チェーン指標と一致することが示された。
• 定理5.14で示されたように、B-T両側加群としての分離性、AのT上での局所射影性、平坦性、および写像(5.1)の全射性という仮定のもとで、相対的チェーン＝ガロア指標は強い接続の選び方に依存しなくなる。
• 拡大が分離的であり、平坦性および射影性条件を満たす場合、相対的チェーン＝ガロア指標の値は、イデムポテンス代表元に依存しないチェーン指標の不変性により、Bの相対的チェーン指標と一致する。
• 定理5.10で、強い接続を備えた絡みあい拡大に付随する有限生成射影B加群のイデムポテンスの構成が明示的に導出され、これにより相対的チェーン指標の計算が可能になった。