[論文レビュー] Deformation of the Dirac Equation

Mir Faizal, S. I. Kruglov|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2014

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二重特異相対性理論と最小測定可能長・時間スケールを組み合わせることで、ディラック方程式の統一的変形を提案する。これにより、非局所的分数階微分項と、アインシュタイン方程式を変形する一般相対性理論の修正された時空幾何が生じる。曲がった時空上でのこの変形ディラック方程式の確率的量論化は、便宜的な時間座標とフェルミオン的ノイズを用いて実行され、BRST対称性が明らかになり、リシュツスケーリングや非可換性のない非可換性を組み合わせることによるさらなる修正の可能性が示唆される。

ABSTRACT

In this paper, we will first clarify the physical meaning of having a minimum measurable time. Then we will combine the deformation of the Dirac equation due to the existence of minimum measurable length and time scales with its deformation due to the doubly special relativity. We will also analyse this deformed Dirac equation in curved spacetime, and observe that this deformation of the Dirac equation also leads to a non-trivial modification of general relativity. Finally, we will analyse the stochastic quantization of this deformed Dirac equation on curved spacetime.

研究の動機と目的

• 量子重力理論における最小測定可能時間の物理的意味を明確化すること。
• ヘイゼンベルク代数における二重特異相対性理論と最小長・時間スケールの変形を統一すること。
• 非局所的分数階微分項を含む共変的変形ディラック方程式を導出すること。
• 一般相対性理論の変形とアインシュタイン方程式への補正を分析すること。
• ランジュバン力学と超空間形式を用いて、曲がった時空上での変形ディラック作用の確率的量論化を実行すること。

提案手法

• 物理的量のイベントベース測定を用いて最小測定可能時間を定義し、最小長と共変性を保証する。
• 二重特異相対性理論と最小長・時間スケールの変形を統合し、共変的時間成分を有する単一の変形ヘイゼンベルク代数を構成する。
• 変形代数に由来する非局所的分数階微分項を含む変形ディラック方程式を構築する。
• 関数の調和拡張を用いて、変形ディラック方程式における非局所項に形式的な意味を与える。
• 曲がった時空上での変形ディラック方程式を分析し、アインシュタイン方程式への補正を導出する。
• 便宜的な時間座標と反可換なフェルミオン的ガウスノイズを用いて確率的量論化を実行し、変形作用のランジュバン方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的量子理論における最小測定可能時間の物理的解釈は何か？
• RQ2 二重特異相対性理論と最小長・時間スケールの組み合わせがヘイゼンベルク代数に与える影響は何か？
• RQ3 得られた変形ディラック方程式が時空幾何および一般相対性理論に与える影響は何か？
• RQ4 変形ディラック方程式の確率的量論化は、曲がった時空上でも一貫して定式化可能か？
• RQ5 この変形をリシュツスケーリングや非可換性のない非可換時空と組み合わせた場合の潜在的結果は何か？

主な発見

• 変形ヘイゼンベルク代数は空間の離散化を引き起こし、全時間成分を含めると時間の離散化も予想される。
• 変形ディラック方程式には非局所的分数階微分項が含まれており、関数の調和拡張を用いて形式的に解釈される。
• ディラック方程式の変形はアインシュタイン方程式への補正を引き起こし、時空幾何を変形する。
• 曲がった時空上での変形ディラック作用の確率的量論化は、フェルミオン的ノイズと便宜的な時間座標を用いたランジュバン方程式により実現される。
• 確率的量論化手順は超空間形式と整合性を示し、変形理論の整合的な量子枠組みの可能性を示唆する。
• 修正された重力理論の有効作用にはゲージ固定項とゴースト項が必要であり、BRST対称性を回復するためである。これはさらなる量論化解析の必要性を示唆する。