[論文レビュー] Deformation Quantisation of Constrained Systems

Frank Antonsen|ArXiv.org|Oct 3, 1997

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、制約付きハミルトニアン系に対する変形量力学のアプローチを提示し、Moyal量力学を用いて第二類制約を第一類の量子制約に変換する方法を示している。これは、アノマリーと物理的状態の制約の問題を解決し、特にヤン・ミルズ理論や重力理論において、Ashtekar形式がアノマリーを中央拡大に単純化し、物理的状態の式を有限次の形にまで還元することで、BRST手法と整合することを示している。

ABSTRACT

We study the deformation quantisation (Moyal quantisation) of general constrained Hamiltonian systems. It is shown how second class constraints can be turned into first class quantum constraints. This is illustrated by the O(N) non-linear $σ$-model. Some new light is also shed on the Dirac bracket. Furthermore, it is shown how classical constraints not in involution with the classical Hamiltonian, can be turned into quantum constraints {\em in} involution with respect to the Hamiltonian. Conditions on the existence of anomalies are also derived, and it is shown how some kinds of anomalies can be removed. The equations defining the set of physical states are also given. It turns out that the deformation quantisation of pure Yang-Mills theory is straightforward whereas gravity is anomalous. A formal solution to the Yang-Mills quantum constraints is found. In the \small{ADM} formalism of gravity the anomaly is very complicated and the equations picking out physical states become infinite order functional differential equations, whereas the Ashtekar variables remedy both of these problems -- the anomaly becoming simply a central extension (Schwinger term) and the equations for physical states become finite order. We finally elaborate on the underlying geometrical structure and show the method to be compatible with BRST methods.

研究の動機と目的

• 一般の制約付きハミルトニアン系に対する一貫性のある変形量力学の枠組みを構築すること。
• 第二類制約の量子力学的取り扱いの課題に、それらを第一類の量子制約に変換することで対処すること。
• 特に重力理論およびヤン・ミルズ理論において、量子制約のアノマリーを解消すること。
• 変形量力学における物理的状態の明示的方程式を、特にADMおよびAshtekar形式において導出すること。
• 変形量力学とBRSTコホロジー法の間の整合性を確立すること。

提案手法

• 古典的観測量のポisson代数を変形するために、Moyal量力学（スター積形式）を用いる。
• 修正されたスター積を用いて、第二類制約を第一類の量子制約に体系的に変換する手続きを適用する。
• 量子制約がハミルトニアンと可換でない失敗を分析することで、アノマリーキャンセレーションの条件を導入する。
• 形式的体系の具体例として、O(N)非線形σ模型にこの手法を適用する。
• ADM形式におけるAshtekar変数を用いて、アノマリーの構造を単純化し、中央拡大に還元する。
• Ashtekar形式において、物理的状態のための有限次の微分方程式を導出する。これはADM形式における無限次の式とは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形量力学を用いて、古典的ハミルトニアン系における第二類制約を、一貫性を持って第一類の量子制約にどのように量子化できるか。
• RQ2 制約付き系の量子制約におけるアノマリーを回避するための条件は何か。
• RQ3 変形量力学のアプローチは、ヤン・ミルズ理論や重力理論のような系における物理的状態条件をどのように扱うか。
• RQ4 なぜ重力のADM形式は物理的状態のための無限次の関数微分方程式を生じるのか。Ashtekar形式はこの問題をどのように解決するか。
• RQ5 制約付き系において、変形量力学はBRSTコホロジー法とどの程度整合性を保っているか。

主な発見

• 純粋なヤン・ミルズ理論の変形量力学は明快で、アノマリーが生じず、量子制約の形式的解が与えられている。
• 重力のADM形式では、アノマリーが極めて複雑になり、物理的状態のための無限次の関数微分方程式を引き起こす。
• Ashtekar変数は重力のアノマリーを単純な中央拡大（シュヴィンガー項）に変換し、量子構造を著しく単純化する。
• Ashtekar形式における物理的状態の式は、有限次の微分方程式にまで簡略化され、ADM法に比べてはるかに取り扱いやすい。
• この手法は、古典的第二類制約を第一類の量子制約に一貫して変換でき、ハミルトニアン力学と整合性を保っている。
• 形式的体系がBRSTコホロジーと整合することを示しており、既存の量子化フレームワークと整合していることが示唆される。