[論文レビュー] Deformation Quantisation of Gravity

Frank Antonsen|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 1997

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ADMおよびアシュテカール変数における正準重力に変形量子化（モーヤル積）を適用し、制約代数の異常を特定する。異常は発生するが、アシュテカールの場合には中心拡大が可能であり、これを「上げる」ことでループ表現による物理的状態解が得られる——特に、宇宙定数が存在しない場合でも、チェーン＝サイモンズ型状態と運動量におけるガウス型状態が得られる。

ABSTRACT

We study the deformation (Moyal) quantisation of gravity in both the ADM and the Ashtekar approach. It is shown, that both can be treated, but lead to anomalies. The anomaly in the case of Ashtekar variables, however, is merely a central extension of the constraint algebra, which can be ``lifted''. Finally we write down the equations defining physical states and comment on their physical content. This is done by defining a loop representation. We find a solution in terms of a Chern-Simons state, whose Wigner function then becomes related to BF-theory. This state exist even in the absence of a cosmological constant but only if certain extra conditions are imposed. Another solution is found where the Wigner function is a Gaussian in the momenta. Some comments on ``quantum gravity'' in lower dimensions are also made.

研究の動機と目的

• 正準重力の変形量子化をADMおよびアシュテカール形式に適用すること。
• 制約代数における異常を分析することで、量子化手順の整合性を検証すること。
• ループ表現において量子制約を満たす物理的状態を構成すること。
• 得られた量子状態の物理的内容を、特にBF理論や低次元量子重力と関連づけて探ること。
• 解が存在する条件を特定すること、特に宇宙定数の役割を明らかにすること。

提案手法

• 重力の制約の古典的ポアソン括弧を非可換作用素代数に変換するために、モーヤル変形量子化を用いる。
• ループ表現を用いて、制約方程式を接続の空間における関数微分方程式に変換する。
• アシュ-tekarakaruの場合に、制約代数の異常が中心拡大として現れることを特定し、解析的に取り扱えることを示す。
• Wigner関数がBF理論に関連するチェーン＝サイモンズ状態として物理的状態を構成する。
• 運動量変数におけるガウス型関数としてのWigner関数を持つ代替解を導出する。
• 宇宙定数が存在しない場合でもチェーン＝サイモンズ状態が存在するように保証する追加条件を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形量子化は、ADMおよびアシュテカール変数における正準重力に一貫して適用可能か？
• RQ2 変形量子化の下で、量子制約代数にどのような異常が生じるか？
• RQ3 アシュテカール形式における異常は、中心拡大として除去可能か、物理的に意味を持つのか？
• RQ4 ループ表現において、量子制約を満たす物理的状態は何か？
• RQ5 得られた量子状態は、BF理論やチェーン＝サイモンズ理論などの既知の位相的場の理論とどのように関係するか？

主な発見

• 重力の変形量子化は、ADMおよびアシュテカール変数の両方において制約代数の異常を生じる。
• アシュテカール形式では、異常が中心拡大として現れ、これを「上げることで」一貫した量子制約が得られる。
• 物理的状態として、Wigner関数がBF理論に関連するチェーン＝サイモンズ状態が得られる。
• このチェーン＝サイモンズ状態は、宇宙定数が存在しない場合でも、特定の追加条件が満たされれば存在する。
• 運動量変数におけるガウス型関数としてのWigner関数を持つ代替解が得られる。
• 結果は、変形重力と位相的場の理論との間の関係を示唆しており、特に低次元において顕著である。