[論文レビュー] Deformation quantization modules

Masaki Kashiwara, Pierre Schapira|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用数 83

ひとこと要約

本稿は、DQ-algebroidを用いて複素多様体上の変形量子化モジュール（DQモジュール）を構築し、Dモジュールや微分作用素系を一般化する。同定された核の畳み込みに関する有限性定理を確立し、双対化複体を構成し、Hochschild類が畳み込みと可換であることを証明するとともに、可換およびシンプレクティックな場合におけるこれらの類がチャーン類およびオイラー類と関係することを示し、特に関手的DQモジュールやラグランジュ部分多様体に台を持つDQモジュールへの応用を含む。

ABSTRACT

We study modules over stacks of deformation quantization algebroids on complex Poisson manifolds. We prove finiteness and duality theorems in the relative case and construct the Hochschild class of coherent modules. We prove that this class commutes with composition of kernels, a kind of Riemann-Roch theorem in the non-commutative setting. Finally we study holonomic modules on complex symplectic manifolds and we prove in particular a constructibility theorem.

研究の動機と目的

• Dモジュール理論を変形量子化代数的束（DQ-algebroid）へ一般化し、従来の連接層および双対性に関する結果を拡張すること。
• 正則性の仮定のもとで、同定された核の畳み込みに関する有限性定理を確立し、Grauertの定理に類似した結果を得ること。
• DQ-algebroidに対して双対化複体を構成し、双対性と畳み込みの可換性を証明すること。
• 連結DQモジュールのHochschild類を定義し、その畳み込みとの整合性を調べること。
• 可換およびシンプレクティックな場合におけるHochschild類がチャーン類およびオイラー類とどのように関係するかを特定し、ラグランジュ部分多様体に台を持つ特関手的DQモジュールを研究すること。

提案手法

• 環の層の形式的変形理論を$\mathbb{C}[[\hbar]]$上に適用し、$\hbar$-完全かつ$\hbar$- torsion-free な代数に注目する。
• 導来圏$\mathrm{D}(\mathscr{A})$におけるコホモロジカルに完全なモジュールを定義し、連結性および平坦性の基準を提示する。
• DQ-algebroidを、局所的に形式的スター代数に同型なスタックとして定義し、Kontsevichの量子化定理を用いてポisson構造を符号化する。
• 導来圏における畳み込みを用いて核を構成し、射影の正則性仮定のもとで有限性を証明する。
• 双対性定理およびほぼ自由分解を用いて、双対性と畳み込みの可換性を確立する。
• 導来Hom複体を用いてHochschild類を定義し、畳み込みおよび特別な場合におけるチャーン／オイラー類との整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連接DQモジュールの理論をDQ-algebroidへどのように拡張できるか。また、それらが満たす有限性的性質は何か。
• RQ2 連接DQモジュールに対して、双対性と畳み込みが可換であるか。双対化複体を用いた証明はどのように行えるか。
• RQ3 DQモジュールのHochschild類の構造は何か。畳み込みに関してどのように振る舞うか。
• RQ4 可換およびシンプレクティックな場合において、Hochschild類はチャーン類およびオイラー類とどのように関係するか。
• RQ5 シンプレクティックな設定において、特関手的DQモジュールの解複体が構成可能であるための条件は何か。

主な発見

• 正則性の仮定のもとで、二つの連接核の畳み込みは連接的である。これは、Grauertの定理をDQ設定へ一般化したものである。
• DQ-algebroidに対して双対化複体が存在し、導来圏の技法を用いて双対性と畳み込みの可換性が示された。
• 連接DQモジュールのHochschild類は適切に定義されており、畳み込みと可換である。これは重要な不変量を確立する。
• 可換な場合、Hochschild類はチャーン類に対応する。シンプレクティックな場合、Hochschild類は$\mathscr{D}$-モジュールのオイラー類に関係する。
• 特関手的DQモジュールに対して、他のモジュールへの解複体は構成可能であり、特に台がラグランジュ的である場合にはその性質が顕著に現れる。
• Hamiltonian変形$\Lambda_a = \Phi(x,a)(\Lambda_0)$によって定まるとき、$\mathrm{R}^i\mathrm{Hom}_{\mathscr{A}_X^{\rm loc}}(\mathscr{L}_a, \mathscr{N})$の次元は$a$に依存しない。これはシンプレクティック変形のもとでの不変性を示している。