[論文レビュー] The Mukai pairing, I: the Hochschild structure

Andrei Căldăraru|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 73

ひとこと要約

本稿は、滑らかでコンpakな複素多様体、オ轮型、デリーニュ＝マクマロンスタックに対して、Hochschildホモロジーにおける一般化されたMukaiペアリングを導入し、そのファンクター性、チャーン類写像との整合性、および随伴性を確立する。HochschildホモロジーがMukai型構造の自然な到達先であることを示し、K3表面における古典的結果を一般化し、ミラー対称性およびオルビフォールドコホモロジー理論の基盤を提供する。

ABSTRACT

We study the Hochschild structure of a smooth space or orbifold, emphasizing the importance of a pairing defined on Hochschild homology which generalizes a similar pairing introduced by Mukai on the cohomology of a K3 surface. We discuss those properties of the structure which can be derived without appealing to the Hochschild-Kostant-Rosenberg isomorphism and Kontsevich formality, namely: -- functoriality of homology, commutation of push-forward with the Chern character, and adjointness with respect to the generalized pairing; -- formal Hirzebruch-Riemann-Roch and the Cardy condition from physics; -- invariance of the full Hochschild structure under Fourier-Mukai transforms. Connections with homotopy theory and TQFT's are discussed in an appendix. A separate paper treats consequences of the HKR isomorphism. Applications of these results to the study of a mirror symmetric analogue of Chen-Ruan's orbifold product will be presented in a future paper.

研究の動機と目的

• K3表面におけるMukaiのペアリングおよびコホモロジー的構造を、滑らかでコンパクトな複素多様体、オルビフォールド、デリーニュ＝マクマロンスタックを含む広範なクラスに一般化すること。
• Hochschildホモロジーが一般化されたMukai構造の自然な到達先であることを確立し、導来圏の枠組みにおいて特異コホモロジーに代わるものとする。
• 積分変換における誘導されたホモロジー写像のファンクター性を証明し、圏的合成と整合することを保証すること。
• 随伴ファンクターとセレ・双対性を用いて、K理論からHochschildホモロジーへのチャーン類写像を定義・特徴付けること。
• ミラー対称性およびオルビフォールドコホモロジーへの将来的応用の基盤を築くこと、特にChen-Ruan積の類似物を通じて。

提案手法

• Grothendieck＝Serre双対性を用いて、$HH^*(X)$ を $\operatorname{Hom}_{{\mathbf{D}}_{\mathrm{coh}}^{b}(X\times X)}(\mathcal{O}_\Delta, \mathcal{O}_\Delta[i])$ として、$HH_*(X)$ を $\operatorname{Hom}_{{\mathbf{D}}_{\mathrm{coh}}^{b}(X\times X)}(\Delta_!\mathcal{O}_X[i], \mathcal{O}_\Delta)$ として定義する。
• K3表面におけるMukaiの元々のペアリングを拡張する非退化な階数付きペアリングとして、$HH_*(X)$ 上に一般化されたMukaiペアリングを導入する。
• Serre双対性の下で双対写像 $\Phi^\dagger$ の右随伴性を用いて、積分変換 $\Phi: \mathbf{D}_{\mathrm{coh}}^b(X) \to \mathbf{D}_{\mathrm{coh}}^b(Y)$ に対し、写像 $\Phi_*: HH_*(X) \to HH_*(Y)$ を構成する。
• トレースの整合性を用いて、単位元の像として $\operatorname{ch}({\mathscr{F}}) \in HH_0(X)$ を定義し、$\Phi_*: HH_*(\mathrm{pt}) \to HH_*(X)$ による誘導写像を用いる。
• チャーン類写像が押し出し写像と可換であることを証明し、Mukaiペアリングの下で $\Phi_*$ と $\Psi_*$ が随伴性を満たすことを確立する。
• 圏的双対性とトレース公式を用いて、$\operatorname{Tr}_{X\times X}(\operatorname{ch}({\mathscr{F}}) \circ \nu) = \operatorname{Tr}_X(\nu_\mathscr{F})$ が成り立つことを検証し、定義が自然変換と整合することを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3表面におけるMukaiのペアリングおよびコホモロジー的構造を、任意の滑らかでコンパクトな複素多様体およびオルビフォールドにどのように一般化できるか？
• RQ2 なぜ一般化されたMukai構造の自然な到達先は、特異コホモロジーではなくHochschildホモロジーなのか？
• RQ3 積分変換の合成におけるホモロジー写像の正しいファンクター的性質は何か？
• RQ4 K理論からHochschildホモロジーへのチャーン類写像を圏論的に定義し、ペアリングと整合的にできるか？
• RQ5 一般化されたMukaiペアリングと導来圏におけるオイラー対応ペアリングの関係は何か？

主な発見

• Hochschildホモロジー上の一般化されたMukaiペアリングは非退化的であり、K3表面におけるMukaiの元々のペアリングの自然な拡張を提供する。
• 積分変換 $\Phi$ によって誘導される写像 $\Phi_*$ はファンクター的である：$(\Phi \circ \Psi)_* = \Phi_* \circ \Psi_*$ かつ $\operatorname{Id}_* = \operatorname{Id}$ が成り立つ。
• 随伴構成を用いて $\operatorname{ch}({\mathscr{F}})$ は $HH_0(X)$ の元として適切に定義され、自然変換とのトレース整合性を満たす。
• 写像 $\Phi_*$ は、ホモロジー的実現におけるMukaiベクトルの構造を保つ意味で、チャーン類写像と可換である。
• 随伴性が成り立つ：$\Phi$ が $\Psi$ の左随伴であれば、任意の $v \in HH_*(Y)$, $w \in HH_*(X)$ に対して $\langle \Phi_*v, w \rangle_X = \langle v, \Psi_*w \rangle_Y$ が成り立つ。
• Hirzebruch＝Riemann-Rochの公式がこの設定でも成立する：$\langle v({\mathscr{E}}), v({\mathscr{F}}) \rangle = \chi({\mathscr{E}}, {\mathscr{F}})$ が成り立ち、ここで $\chi$ は $K_0(X)$ 上のオイラー対応ペアリングである。