[論文レビュー] Deformation theory and rational homotopy type

Mike Schlessinger, Jim Stasheff|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 74

ひとこと要約

本稿は、$L_∞$-代数を用いて、有理ホモトピー型の分類の変形理論的枠組みを確立する。固定されたコホモロジーを持つ有理ホモトピー型の集合は、摂動の錐的代数的多様体をプロ・ユニポテンツ群の作用で割った商としてモデル化されたモジュライ空間であることが示され、その主要な貢献は、このモジュライ空間が微分的グレード付きコモノイドのパス成分と同一視されることであり、有理ホモトピー論と変形論が$L_∞$-制御を通じて結びつけられる。

ABSTRACT

We regard the classification of rational homotopy types as a problem in algebraic deformation theory: any space with given cohomology is a perturbation, or deformation, of the "formal" space with that cohomology. The classifying space is then a "moduli" space --- a certain quotient of an algebraic variety of perturbations. The description we give of this moduli space links it with corresponding structures in homotopy theory, especially the classification of fibres spaces with fixed fibre F in terms of homotopy classes of maps of the base B into a classifying space constructed from the monoid of homotopy equivalences of F to itself. We adopt the philosophy, later promoted by Deligne in response to Goldman and Millson, that any problem in deformation theory is "controlled" by a differential graded Lie algebra, unique up to homology equivalence (quasi-isomorphism) of dg Lie algebras. Here we extend this philosophy further to control by sh-Lie-algebras.

研究の動機と目的

• 有理ホモトピー型の分類を代数的変形理論の問題として再定式化すること。
• 固定されたコホモロジーを持つ有理ホモトピー型のモジュライ空間が、錐的代数的多様体をプロ・ユニポテンツ群の作用で割った商であることを確立すること。
• 微分的グレード付きリ代数（DGLA）による変形問題の制御を、$L_\infty$-代数へ一般化すること。
• 共通の代数的幾何的枠組みを通じて、ファイブレーションと有理ホモトピー型の分類を統一すること。

提案手法

• 微分的グレード付き可換代数（dgcas）を用いて有理ホモトピー型をモデル化し、特にSullivan-Tate分解とフィルター付きモデルを用いる。
• 形式的空間の摂動を、1次元の微分作用素として表現し、Maurer-Cartan方程式$(d+p)^2 = 0$を満たすものとし、$p$は分解度を少なくとも2下げる。
• dgリ代数$L$に対して標準的構成$C(L)$を用い、微分的グレード付きコモノイドを関連づけ、コモノイド写像を通じてホモトピー型を研究可能にする。
• ホモトピー類のコモノイド写像と摂動のゲージ同値類との関係を、主ホモトピー定理を用いて関係づける。
• DeligneやGoldman-MillsonのDGLA制御の哲学を一般化し、$L_\infty$-代数を用いて変形問題を制御する。
• コホモロジー代数$\mathcal{H}$の最小普遍変形を、そのdgリ代数の微分作用素のコホモロジーの形式的べき級数環の商として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理ホモトピー型の分類をどのように変形理論的問題として再定式化できるか？
• RQ2 $L_\infty$-代数は、有理ホモトピー型の変形空間をどのように制御するか？
• RQ3 固定されたコホモロジー代数$\mathcal{H}$を持つ有理ホモトピー型のモジュライ空間は、摂動の代数的多様体の商としてどのように生じるか？
• RQ4 固定されたファイバー$F$を持つファイブレーションの分類空間は、有理ホモトピー型のモジュライ空間とどのような関係にあるか？
• RQ5 自由なdgリ代数$\pi$に対して、どのdgリ代数が$\operatorname{Der} \pi / \operatorname{ad} \pi$として現れるか？

主な発見

• 固定されたコホモロジー代数$\mathcal{H}$を持つ有理ホモトピー型の集合は、摂動の錐的有理代数的多様体$V$とプロ・ユニポテンツ群$G$との商$V/G$に同型である。
• 有理ホモトピー型のモジュライ空間は、微分的グレード付きコモノイドのパス成分と同一視され、位相的分類と代数幾何が結びつけられる。
• 固定されたファイバー$F$に対して、有理ファイブレーション$F \to E \to B$の分類は、写像$B \to B\operatorname{Aut}(F)$のホモトピー類に対応し、分類空間は$\operatorname{Der}(F)$から構成される。
• $F = S^\nu$で$\nu$が奇数のとき、普遍的ファイブレーションは$S^\nu \to E \to K(\mathbb{Q}, \nu+1)$であり、$E$は収縮可能である。$\nu$が偶数のとき、$H(E)$は代数として$H(B) \otimes H(F)$に同型でない。
• $K(\mathbb{Q}, 4)$上の$S^2$-ファイブレーションにおけるトランスグレッションは非ゼロであり、$E$のコホモロジーは$S(x)$に同型である。これは$H(E)$が$H(B) \otimes H(F)$の変形であることを示している。
• $F = S^{2n} \vee S^{2n}$で$B = S^3 \times (\mathbb{C}P^\infty)^r$のとき、コホモロジー$H(F) \otimes H(B)$を持つ有理ホモトピー型の空間は、$V / GL(r)$に同型である。ここで$V$は$r$変数における次数$2n-2$の同次多項式の空間である。