[論文レビュー] Deformations of compact holomorphic Poisson manifolds and algebraic Poisson schemes

Chunghoon Kim|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Kodaira-Spencer や Grothendieck の変形枠組みをポアソン構造を含むように拡張することで、コンパクトな複素ポアソン多様体および代数的ポアソンスキームの変形理論を構築する。ポアソン解析的ファミリーを導入し、切断された正則ポアソンコホロジーとポアソン・コドラ・スペンサー写像を用いて無限小変形を研究し、ポアソン変形を支配する微分付き Lie 代数を構成する。主な結果として、$HP^1(X,\Lambda_0) = 0$ のとき、普遍ポアソン変形の存在が示される。

ABSTRACT

In this thesis, we study deformations of compact holomorphic Poisson manifolds and algebraic Poisson schemes in the framework of Kodaira-Spencer's analytic deformation theory and Grothendieck's algebraic deformation theory.

研究の動機と目的

• Kodaira-Spencer の解析的変形理論をポアソン構造を含むように拡張することで、コンパクトな複素ポアソン多様体の変形理論を構築すること。
• 切断された正則ポアソンコホロジーを用いて無限小ポアソン変形の枠組みを確立し、ポアソン・コドラ・スペンサー写像を定義すること。
• 局所アーティン $\mathbb{C}$-代数上のコンパクトな複素ポアソン多様体の無限小ポアソン変形を支配する微分付き Lie 代数 (dgLa) を構成すること。
• 第一ポアソンコホロジーが消える（$HP^1(X,\Lambda_0) = 0$）場合に、普遍ポアソン変形が存在することを証明すること。
• 代数的ポアソンスキームの変形理論を、代数的に閉じた体 $k$ 上の局所アーティン $k$-代数へ拡張し、ポアソン変形函手 $PDef_{(X,\Lambda_0)}$ を定義すること。

提案手法

• Kodaira-Spencer の複素解析的ファミリーの一般化として、変形ファミリーにポアソン構造を組み込んだポアソン解析的ファミリーを定義する。
• 切断された正則ポアソンコホロジーを用いて、正則ポアソン多様体の無限小変形を分析する。
• 変形パrameter とポアソン双ベクトル場の変化を関連付けるために、ポアソン・コドラ・スペンサー写像を導入する。
• 局所アーティン $\mathbb{C}$-代数（残渣が $\mathbb{C}$）上のコンパクトな複素ポアソン多様体の無限小ポアソン変形を支配する微分付き Lie 代数 (dgLa) を構成する。
• ポアソン $k$-代数準同型および $B$-加群に対して、ポアソン接空間複体と $PT^i(B/A,M)$ を定義し、代数的ポアソン変形を研究する。
• Schlessinger の基準およびポアソン接空間複体を用いて、代数的設定におけるポアソン変形函手 $PDef_{(X,\Lambda_0)}$ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な複素構造の変形を超えて、コンパクトな複素ポアソン多様体の変形理論を、ポアソン構造を含む形にどのように拡張できるか？
• RQ2 切断された正則ポアソンコホロジーは、無限小ポアソン変形を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 ポアソン・コドラ・スペンサー写像は、変形パrameter とポアソン双ベクトル場の変化の間でどのように関係するか？
• RQ4 コンパクトな複素ポアソン多様体に対して、普遍ポアソン変形が存在するための条件は何か？
• RQ5 局所アーティン $k$-代数上での代数的設定において、ポアソン変形函手 $PDef_{(X,\Lambda_0)}$ をどのように構成し、分析できるか？

主な発見

• ポアソン解析的ファミリーは、Kodaira-Spencer の解析的ファミリーの一般化として、変形過程にポアソン構造を組み込む形で成功裏に定義された。
• コンパクトな複素ポアソン多様体の無限小ポアソン変形は、切断された正則ポアソンコホロジーによって支配され、ポアソン・コドラ・スペンサー写像が重要な対応写像を提供する。
• ポアソン変形の整合性条件は、コホロジー的枠組みを用いて導出され、変形過程の整合性が保証される。
• 局所アーティン $\mathbb{C}$-代数（残渣が $\mathbb{C}$）上のコンパクトな複素ポアソン多様体の無限小ポアソン変形を支配する微分付き Lie 代数が構成された。
• コンパクトな複素ポアソン多様体 $(X,\Lambda_0)$ に対して $HP^1(X,\Lambda_0) = 0$ のとき、普遍ポアソン変形が存在することが示され、重要な存在結果が確認された。
• 代数的設定において、ポアソン変形函手 $PDef_{(X,\Lambda_0)}$ は適切に定義されており、障害理論はポアソン接空間複体および $PT^i$ コホロジーを用いて発展した。