[論文レビュー] Deformations of convex real projective manifolds and orbifolds

Suhyoung Choi, Gye‐Seon Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 74被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、閉じた多様体およびオーロイド上における凸実射影構造の変形理論を概説し、特にファクス型、3次元多様体、およびコクセター群といった有限生成群のPGL_{d+1}(R)への表現に焦点を当てる。特に次元3において、双曲幾何を超える非自明な変形が存在しうることを示しており、主要な結果として、一部の閉じた双曲3次元多様体がSL_4(R)内に非剛性の変形を許容する一方、他には無限小的剛性を示すことが判明している。

ABSTRACT

In this survey, we study representations of finitely generated groups into Lie groups, focusing on the deformation spaces of convex real projective structures on closed manifolds and orbifolds, with an excursion on projective structures on surfaces. We survey the basics of the theory of character varieties, geometric structures on orbifolds, and Hilbert geometry. The main examples of finitely generated groups for us will be Fuchsian groups, 3-manifold groups and Coxeter groups.

研究の動機と目的

• 表現論を用いて、閉じた多様体およびオーロイド上の凸実射影構造の変形空間を理解すること。
• 適切に凸な領域を保つ離散的かつ忠実なPGL_{d+1}(R)内への非双曲的表現の存在を調査すること。
• 特にSL_4(R)における双曲3次元多様体の基本群のキャラクター多様体の局所構造を分析すること。
• 双曲3次元多様体またはオーロイドが凸射影構造の空間内で非自明な変形を許容する条件を特定すること。
• ドゥエンフィリングおよび境界変形における無限小的剛性と相対的剛性の役割を探索すること。

提案手法

• 有限生成群のPGL_{d+1}(R)への表現のパラメータ空間としてキャラクター多様体を用いる。
• 離散群が保存する適切に凸な領域上の内接計量を研究するためにヒルベルト幾何を適用する。
• 特にH^1およびH^2を用いたコhomological技法により、無限小的変形と障害を分析する。
• コシュールおよびベノアストの定理を用いて、Ben(M)内の表現が離散的で忠実であり、凸領域を保存することを示す。
• 写像H^1(M, g)_ρ → H^1(∂M, g)_ρを用いて、ドゥエンフィリングにおける相対的無限小的剛性を分析する。
• 浮動小数点計算を用いて、ホジンソン＝ウィークスのサーベイに含まれる4500体の双曲3次元多様体のキャラクター多様体を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた多様体上の凸実射影構造の空間が、双曲構造を超える変形を含む条件は何か？
• RQ2 閉じた双曲3次元多様体が、適切に凸な領域を保存する、非共轭の離散的かつ忠実なSL_4(R)内表現を許容できるか？
• RQ3 有限体積の双曲3次元多様体の中で、境界に対して無限小的剛性を示すものはどのような特徴を持つか？
• RQ4 異なる3次元多様体における、ハイパーボリック点におけるキャラクター多様体χ(Γ, SL_4(R))の局所構造はどのように変化するか？
• RQ5 ドゥエンフィリングが変形可能または剛性を示すかどうかを判別するための位相的不変量は存在するか？

主な発見

• 4500体の双曲3次元多様体を調査した結果、4439体が自明な第一コhomology（H^1 = 0）を示し、ハイパーボリック点における局所的剛性を示している。
• 9体の多様体が非自明なザリスキ接空間を示したが、可積分な変形は存在せず、高次元の特異性を示している。
• 43体の多様体が滑らかな1次元の変形族を持ち、7体が滑らかな2次元の変形族を持っていた。
• 1体の多様体が、2つの3次元の分岐が曲線に沿って交差する特異な3次元変形多様体を持っていた。
• 図8文字結び目補間部およびホイトヘッドリンク補間部は、境界に対して無限小的剛性を示している。
• 境界に対して剛性を示す双曲3次元多様体の無限に多くのドゥエンフィリングは、自身も無限小的剛性を示すが、一部のアミフィラル結び目で剛性を示す長軸を持つものについては、変形可能なフィリングが存在する。