[論文レビュー] The convex real projective orbifolds with radial or totally geodesic ends: The closedness and openness of deformations

Suhyoung Choi|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、径方向または完全測地的端を持つ凸実射影的オーロラフォールドの変形空間と、その基本群のPGL(n+1,R)-表現空間の間の局所ホメオモルフィズムを確立する。ヘッセの議論と幾何的収束技法を用いて、変形のもとで適切（それぞれ厳密）に凸な構造の開性および閉性を証明し、閉じたオーロラフォールドに関するベノイストの結果を一般化するとともに、クランポン＝マルキスおよびクーパー＝ロン＝ティルマンのマーガリス補題を用いて相対的双曲構造へ理論を拡張する。

ABSTRACT

A real projective orbifold is an $n$-dimensional orbifold modeled on $\mathbb{RP}^n$ with the group $PGL(n+1, \mathbb{R})$. We concentrate on an orbifold that contains a compact codimension $0$ submanifold whose complement is a union of neighborhoods of ends, diffeomorphic to closed $(n-1)$-dimensional orbifolds times intervals. A real projective orbifold has a {\it radial end} if a neighborhood of the end is foliated by projective geodesics that develop into geodesics ending at a common point. It has a {\it totally geodesic end} if the end can be completed to have the totally geodesic boundary. The orbifold is said to be {\it convex} if any path can be homotopied to a projective geodesic with endpoints fixed. A real projective structure sometimes admits deformations to parameters of real projective structures. We will prove the local homeomorphism between the deformation space of convex real projective structures on such an orbifold with radial or totally geodesic ends with various conditions with the $PGL(n+1, \mathbb{R})$-character space of the fundamental group with corresponding conditions. We will use a Hessian argument to show that under a small deformation, a properly (resp. strictly) convex real projective orbifold with generalized admissible ends will remain properly and properly (resp. strictly) convex with generalized admissible ends. Lastly, we will prove the openness and closedness of the properly (resp. strictly) convex real projective structures on a class of orbifold with generalized admissible ends, where we need the theory of Crampon-Marquis and Cooper, Long and Tillmann on the Margulis lemma for convex real projective manifolds. The theory here partly generalizes that of Benoist on closed real projective orbifolds.

研究の動機と目的

• 径方向または完全測地的端を持つ凸実射影的オーロラフォールドの変形空間と、その基本群のPGL(n+1,R)-表現空間との間の局所ホメオモルフィズムを確立すること。
• 一般化された許容可能な端を持つオーロラフォールド上における適切（それぞれ厳密）に凸な実射影的構造の空間の開性および閉性を証明すること。
• 閉じた凸実射影的オーロラフォールドに関するベノイストの理論を、制御された端構造を持つ非コンパクトな設定へ拡張すること。
• ヘッセの議論と凸性の保存を用いて、小刻みの変形におけるモノドロミー表現の振る舞いを分析すること。

提案手法

• 一般化された許容可能な端を持つオーロラフォールドにおける小刻みの変形が適切および厳密な凸性を保存することを示すために、ヘッセの議論を用いる。
• ユニバーサル被覆上のハウスドルフ距離およびヒルベルト距離に依存する、凸実射影的オーロラフォールドの幾何的収束理論を適用する。
• 双対性構成およびアフィンスパインを用いて、p-端近傍およびその凸包の構造を分析する。
• 相対的双曲性の理論およびボーディッチの手法を用いて、群の作用と凸性および端の振るまいとの関係を関係づける。
• 凸実射影的多様体におけるマーガリス補題に関するクランポン＝マルキスおよびクーパー＝ロン＝ティルマンの結果を応用し、端の幾何を制御する。
• 表現空間の半代数的性質と極限集合の連続性を活用して、変形空間の閉性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 径方向または完全測地的端を持つオーロラフォールド上の適切に凸な実射影的構造の小刻みの変形が、依然として適切に凸のままである条件は何か？
• RQ2 このようなオーロラフォールド上における適切（それぞれ厳密）に凸な実射影的構造の空間は、変形空間において開かつ閉であるか？
• RQ3 モノドロミー表現は変形のもとでどのように振る舞い、凸性が保存されるための条件は何か？
• RQ4 一般化された許容可能な端を持つオーロラフォールド上の凸実射影的構造の変形空間は、基本群の表現空間と局所ホメオモルフィックにできるか？
• RQ5 p-端群およびその凸領域上の作用は、オーロラフォールドのグローバルな凸性および位相的構造において果たす役割は何か？

主な発見

• 適切な条件下で、径方向または完全測地的端を持つ凸実射影的オーロラフォールドの変形空間は、基本群のPGL(n+1,R)-表現空間と局所ホメオモルフィックである。
• ヘッセに基づく解析により、元の構造が一般化された許容可能な端を持つ場合、小刻みの変形が適切および厳密な凸性を保存することが示された。
• 一般化された許容可能な端を持つオーロラフォールド上における適切（それぞれ厳密）に凸な実射影的構造の空間は、変形空間において開かつ閉である。
• 変形空間の閉包は極限集合および端群の凸包によって特徴づけられ、次元制約が適切なドメイン構造を保証する。
• 開発写像は凸領域への微分同相写像のままであり、開発像上のモノドロミー作用は変形のもとで適切に凸のままである。
• ベノイストの閉じた凸実射影的オーロラフォールドに関する理論が、制御された端構造を持つ非コンパクトな設定へ一般化された。