[論文レビュー] Deformations of Generalized Kahler Structures and Bihermitian Structures

Ryushi Goto|ArXiv.org|Oct 9, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般化された複素構造およびケーラー変形理論を用いて、特徴的なホロモルフィックポアソン構造を介して、コンパクトなケーラー多様体上に新しい双エルミート構造の族を構成する。主な結果として、コhomological 条件のもとで、$[\beta \cdot \omega] \neq 0$ である限り、$t$ が小さくても元の $J$ とは双正則同型でないことが示され、非同値な双エルミート構造の存在が証明される。

ABSTRACT

Let $(X, J)$ be a compact Kahler manifold with a non-zero holomorphic Poisson structure $β$. If the obstruction space for deformations of generalized complex structures on $(X, J)$ vanishes, we obtain a family of deformations of non-trivial bihermitian structures $(J, J^-_t, h_t)$ on $X$ by using $β$. In addition, if the class $[β\cdot ω]$ does not vanish for a Kähler form $ω$, then the complex structure $J_t^-$ is not equivalent to $J$ for small $t eq 0$ under diffeomorphisms. Our method is based on the construction of generalized complex and Kahler structures developed in \cite{Go1} and \cite{Go2}. As applications, we obtain such deformations of bihermitian structures on del Pezzo surfaces, the Hirtzebruch surfaces $F_2, F_3$ and degenerate del Pezzo surfaces. Further we show that del Pezzo surfaces $S_n (5\leq n\leq 8)$, $F_2$ and degenerate del Pezzo surfaces admit bihermitian structures for which $(X, J^-_t)$ is not biholomorphic to $(X, J)$ for small $t eq 0$.

研究の動機と目的

• コンパクトなケーラー多様体上に、ホロモルフィックポアソン構造を用いて新しい双エルミート構造の族を構成すること。
• 変形された複素構造 $J_t^-$ が微分同相写像のもとで元の $J$ と同値でない条件を特定すること。
• デル・ペッツォ表面、$F_2$、$F_3$、および退化したデル・ペッツォ表面に、相異なる双エルミート構造の存在を確立すること。
• 一般化された複素構造の変形理論を応用し、非同値な複素構造を持つ非自明な双エルミート構造を生成すること。
• Kodaira-Spencer類 $[\beta \cdot \omega]$ が変形された複素構造の微分同相写像による同値性を妨げる役割を明確にすること。

提案手法

• 先行研究 [10, 11] における一般化された複素構造および一般化されたケーラー構造の枠組みを用いて変形を構成する。
• 一般化された複素構造の文脈において、Maurer-Cartan 方程式を適用し、無限小変形を生成する。
• Kodaira-Spencer類 $-2[\beta \cdot \omega] \in H^1(M, \Theta)$ を用いて、複素構造 $J_t^-$ の変形を構成する。
• 変形の障害空間が消えることを保証するため、$\oplus_{i=0}^3 H^i(M, \wedge^{3-i}\Theta) = 0$ の条件を課す。
• 変形の流れを、収縮 $\beta \cdot \omega$ を用いて分析する。これにより、$T^{1,0}_J$ 値の $\overline{\partial}$-閉 $(0,1)$-形式が得られ、変形の方向を定義する。
• 一般化されたケーラー構造と、$-d^c_+\omega_+ = d^c_-\omega_- = db$ を満たす双エルミート構造との間には一対一対応が存在する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなケーラー多様体 $M$ 上のホロモルフィックポアソン構造 $\beta$ が、$J_t^+ = J$ を満たす非自明な双エルミート構造の変形を誘発する条件は何か？
• RQ2 $t \neq 0$ が十分に小さいとき、変形された複素構造 $J_t^-$ が任意の微分同相写像のもとで $J$ と同値でないのはどのような場合か？
• RQ3 $[\beta \cdot \omega] \in H^1(M, \Theta)$ のクラスが、変形された複素構造の双正則同型型を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 どのコンパクトな複素曲面が、$J_t^-$ が $J$ と双正則同型でない双エルミート構造を備えているか？
• RQ5 一般化された複素構造の変形理論をどのように用いて、明示的な相異なる双エルミート構造の族を構成できるか？

主な発見

• $\oplus_{i=0}^3 H^i(M, \wedge^{3-i}\Theta)$ が消えるコンパクトなケーラー多様体では、ホロモルフィックポアソン構造 $\beta$ が、$J_t^+ = J$ を満たす一意パラメータ族の双エルミート構造 $(J, J_t^-, h_t)$ を生成する。
• 変形された $J_t^-$ の $t=0$ における無限小変形は、$\frac{d}{dt}J_t^-|_{t=0} = -2(\beta \cdot \omega + \overline{\beta} \cdot \omega)$ で与えられ、$\beta \neq 0$ のとき非ゼロである。
• $[\beta \cdot \omega] \neq 0$ が $H^1(M, \Theta)$ 内で成り立つ限り、$t \neq 0$ で十分小さいとき、$J_t^-$ は任意の微分同相写像のもとで $J$ と同値でない。これにより、相異なる複素構造が保証される。
• $5 \leq n \leq 8$ のデル・ペッツォ表面 $S_n$、$F_2$、$F_3$、および退化したデル・ペッツォ表面は、このような非同値な双エルミート構造を備える。
• 本手法により、$(X, J_t^-)$ が $(X, J)$ と双正則同型でない明示的な双エルミート構造の例が得られ、これらの曲面上に相異なる双エルミート構造の存在が確認される。
• この方法により、一般化された複素構造の変形空間が、$J_t^-$ のKodaira-Spencer類を通じて、非自明な双エルミート構造の存在を制御することが確認された。