[論文レビュー] Deformations of holomorphic pseudo-symplectic Poisson manifolds

Ziv Ran|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかでない特異性をもつ除数に沿って退化する弱P正則な複素ポアソン多様体—つまり、Kähler多様体で、ポアソン構造が弱い特異性をもつ除数に沿って退化するもの—に対して、非遮断的変形を確立する。微分的ゲージ代数（dgla）と混合Hodge理論を用いて、すべてのポアソン変形が非遮断的であることを証明し、ハッセの多様体や他の対数的シンプレクティック構造をもつ例へと非遮断性の結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove unobstructed deformations for compact Kaehlerian even-dimensional Poisson manifolds whose Poisson tensor degenerates along a divisor with mild singularities. Examples include Hilbert schemes of del Pezzo surfaces.

研究の動機と目的

• 滑らかでない特異性をもつ除数に沿って退化するポアソンテンソルをもつ複素ポアソン多様体の非遮断的変形理論を確立すること。
• シンプレクティックおよびファノの場合を越えて、広範なクラスの擬シンプレクティックポアソン構造へと非遮断性の結果を一般化すること。
• デル・ペッツォ表面のヒルベルトスキームに誘導されたポアソン構造をもつ変形理論的枠組みを提供すること。
• ポアソン変形と退化除数の局所的に自明な変形との関係を明確にすること。
• 制御された特異性をもつポアソン構造のP正則性の自然な一般化としての弱P正則性の概念を導入し、その研究を行うこと。

提案手法

• 退化部分多様体 Pf^k(Π) の余次元条件と分岐の横断性を用いて、弱P正則性の概念を導入する。
• 対数的特異性をもつ接層 T_X⟨log D⟩ に微分的ゲージ代数（dgla）技法を適用する。
• デリーニの E1-退化とカルタンの公式を用いて、H^2(Ω^{n-1}_X⟨log D⟩) における障害ペアリングの消滅を示す。
• Kähler多様体で反正則除数 D をもつ場合に T_X ≅ Ω^{n-1}_X(D) が成り立つことを利用し、ポアソン幾何と対数的幾何を関連付ける。
• 退化部分多様体のフラッグに沿った繰り返しのブローアップを用いて、パフィアン除数およびその全逆像の構造を分析する。
• P正則ポアソン構造の明示的局所正規形を計算し、それが弱P正則性と整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない特異性をもつ除数 D をもつ複素ポアソン構造において、ポアソン変形空間全体が非遮断的となる条件は何か？
• RQ2 D が単純な交差を持つが滑らかでない場合、ポアソン変形の非遮断性は確立可能か？
• RQ3 局所的に自明な (X,D) の変形が、(X,Π,D) のポアソン変形にどの程度まで引き上げられるか？
• RQ4 退化部分多様体にどのような幾何的条件が、ポアソン変形空間における非遮断性を保証するか？
• RQ5 デル・ペッツォ表面のヒルベルトスキームに誘導されたポアソン構造をもつ場合、非遮断的ポアソン変形理論を満たすか？

主な発見

• 任意の弱P正則ポアソン多様体 (X,Π) に対して、全ポアソン変形空間 Def(X,Π) は滑らかであり、非遮断的変形が成立することを示した。
• (X,Π) のポアソン変形は、パフィアン除数 D 上で局所的に自明な変形を誘導し、逆に、(X,D) の任意の局所的に自明な変形は (X,Π,D) の変形に引き上げられる。
• 三重組 (X,Π,D) の変形空間から Def(X,Π) および Def_loc.trivial(X,D) への忘却写像は、両方とも滑らかである。
• 反正則曲線が滑らかな場合、デル・ペッツォ表面のヒルベルトスキーム S^{[r]} に対しても、非遮断的ポアソン変形が成立する。
• P正則ポアソン構造は、x_i ∂/∂x_i ∧ ∂/∂y_i と標準的シンプレクティック項を含む局所正規形をもち、D の滑らかな点において正確に階数2の核をもつ。
• 本稿は、P正則性が弱P正則性を含むことを示し、特異的パフィアン除数をもつより広いクラスのポアソン多様体へと非遮断性の結果を拡張する枠組みを提供する。