[論文レビュー] GW Invariants Relative Normal Crossings Divisors

Eleny-Nicoleta Ionel|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック正則交差超曲面の新しい概念を導入し、それらの超曲面に関してシンプレクティック多様体の相対的グロモフ＝ウィッテン（GW）不変量を定義する。これは、滑らかな超曲面に関する先行研究を拡張するものである。主な貢献は、スケーリングを用いて特異的領域への崩壊を制御する相対的安定写像のコンパクトなモジュライ空間の構成であり、これによりシンプレクティック和型の公式や、正則交差特異点を伴う崩壊に対するメイヤー＝ビートリス型不変量が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we introduce a notion of symplectic normal crossings divisor V and define the GW invariant of a symplectic manifold X relative such a divisor. Our definition includes normal crossings divisors from algebraic geometry. The invariants we define in this paper are key ingredients in symplectic sum type formulas for GW invariants, and extend those defined in our previous joint work with T.H. Parker [IP1], which covered the case V was smooth. The main step is the construction of a compact moduli space of relatively stable maps into the pair (X, V) in the case V is a symplectic normal crossings divisor in X.

研究の動機と目的

• 正則交差特異点を持つシンプレクティック多様体に対する相対的グロモフ＝ウィッテン不変量を拡張すること。これは、崩壊やミラー対称性において自然に現れる。
• 特に、超曲面の特異的領域に成分が収縮する場合に、相対的安定写像のモジュライ空間のコンパクト化を困難とする問題に取り組むこと。
• 中心ファイバーが正則交差特異点を持つ場合の、シンプレクティック和の公式およびメイヤー＝ビートリス型不変量を一般化すること。
• 周囲の空間を超曲面およびその特異的領域の近くでスケーリングすることで、次元が正しく保たれる安定写像のコンパクト化を構築すること。
• 代数幾何学およびドナルドソン型の構成と整合性を持つフレームワークを提供し、シンプレクティックトポロジーおよびミラー対称性への応用を可能にすること。

提案手法

• ほぼ複素構造と整合する2コアのシンプレクティック部分多様体の局所的横断的交わりとして定義されるシンプレクティック正則交差超曲面の概念を導入する。
• 接触順序を指定した $J$-擬全純写像の数え上げを通じて、超曲面、特にその特異的領域でも定義される相対的GW不変量を定義する。
• 各枝 $V$ との交差重複度を追跡する列 $s$ を用いて、相対的安定写像のモジュライ空間 $\mathcal{M}_s(X,V)$ を構成する。
• Gromovのコンパクト化を、超曲面 $V$ 及びその特異的領域の近くで周囲のシンプレクティック多様体をスケーリングすることによって精緻化し、成分が次元が低いストラトゥムに沈むのを防ぐ。
• 超曲面の分離構造およびそのインシデント構造（例：双対グラフ、深さフィルトレーション）を用いて、位相的型を制御し、境界ストラトゥムの適切な次元性を保証する。
• 高 genusで失敗する無限再帰的ブローアップに代わって、無限降下を避けるスケーリングに基づくコンパクト化を用い、モジュライ空間を安定化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超曲面が滑らかではなく正則交差特異点を持つ場合、相対的グロモフ＝ウィッテン不変量はどのように定義できるか？
• RQ2 特異的領域が存在する状況で、相対的安定写像のモジュライ空間の境界ストラトゥムが期待される次元を超えないように保証するコンパクト化法は何か？
• RQ3 中心ファイバーが正則交差超曲面であるような崩壊に対して、メイヤー＝ビートリス型のGW不変量の公式を構成できるか？
• RQ4 シンプレクティック超曲面の特異的領域と交差する擬全純曲線の解析は、どのように制御できるか？
• RQ5 高 genusにおいて、成分が特異的領域に沈む傾向がある場合、次元制御を維持するための相対的安定写像のコンパクト化に必要な修正は何か？

主な発見

• 本稿では、シンプレクティック多様体 $X$ とそのシンプレクティック正則交差超曲面 $V$ に対して、境界ストラトゥムの次元が正しく保たれる相対的安定写像のコンパクトモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_s(X,V)$ を構成した。
• 定義された不変量は、[IP2]における相対的GW不変量を特異的超曲面への拡張として実現し、シンプレクティック和の公式や崩壊公式への応用を可能にする。
• コンパクト化の安定化に用いられるスケーリング法は、高 genusで失敗する無限再帰的ブローアップの無限降下問題を回避する。
• 双対グラフによるストラトフィケーションおよび超曲面への深さフィルトレーションは、交差データおよび曲線の位相的型を追跡する組合せ的枠組みを提供する。
• この構成は代数幾何学と整合性を持ち、ミラー対称性およびドナルドソン型シンプレクティック超曲面への応用を可能にする。
• Gromov位相に関して、モジュライ空間が良好に振る舞い、ストラトフィケーションが上半連続的であり、超曲面の枝のインシデント構造を反映していることが示された。