[論文レビュー] Deformations of Lagrangian Type Submanifolds inside G2 manifolds

Rebecca J. Glover, Sema Salur|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、G₂多様体内のラグランジュ型部分多様体の変形を研究し、4次元RS部分多様体の新クラスを導入する。コンパクトで向き付け可能なHL 3次元部分多様体の無限小変形の空間は、滑らかな関数と部分多様体上の閉2形式の直和に同型であることが証明される。一方、RS 4次元部分多様体では、閉3形式に同型である。これは、特別なホロノミー幾何における変形理論を一般化する。

ABSTRACT

3-dimensional Harvey Lawson submanifolds were introduced in an earlier paper by Akbulut-Salur, as examples of Lagrangian-type manifolds inside G2 manifold. In this paper, we first show that the space of deformations of a smooth, compact, orientable Harvey-Lawson submanifold HL in a G2 manifold M can be identified with the direct sum of the space of smooth functions and closed 2-forms on HL. We then introduce a new class of Lagrangian-type 4-dimensional submanifolds inside G2, call them RS submanifolds and prove that the space of deformations of a smooth, compact, orientable RS submanifold in a G2 manifold M can be identified with closed 3-forms on RS.

研究の動機と目的

• G₂多様体内のラグランジュ型部分多様体の理論を、アソソシエイティブおよびコアソソシエイティブ部分多様体を超えて拡張すること。
• シンプレクティック幾何におけるラグランジュ部分多様体に類似する、4次元の新しいクラスの部分多様体（RS部分多様体）を定義し、それらを研究すること。
• これらの部分多様体の無限小変形の空間を、それぞれのクラス内で特徴付けること。
• G₂ 3形式φおよびそのホッジ双対⋆φによって偏光される部分多様体の変形理論を確立すること。
• 福田カテゴリを介して、G₂幾何、偏光部分多様体、およびミラー対称性との関係を探索すること。

提案手法

• G₂ 3形式φが部分多様体に制限されたときに消える3次元部分多様体として、ハーヴェイ＝ローワン（HL）部分多様体を定義する。
• ホッジ双対4形式⋆φによって偏光される、4次元ラグランジュ型部分多様体の新クラスとしてRS部分多様体を導入する。
• 変形写像Fの指数写像と線形化を用いて、部分多様体の無限小変形を分析する。
• 変形写像F: Γ(N(RS)) → Λ⁴T*(RS)の線形化dF(0)を計算し、法ベクトル場Vの双対1形式vに対してd⋆v = ⋆(d*v)に等しいことを示す。
• dF(0)の核をRS部分多様体上の閉3形式と特定し、変形空間を確立する。
• G₂多様体上の交差積および三重交差積構造を活用して、HLおよびRS部分多様体の幾何的枠組みを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G₂多様体内の滑らかでコンパクトかつ向き付け可能な3次元ハーヴェイ＝ローワン部分多様体の無限小変形の空間は何か？
• RQ2 G₂多様体内で、4次元ラグランジュ型部分多様体（RS部分多様体）の新クラスをどのように定義できるか？
• RQ3 RS部分多様体の変形空間は何か？また、その部分多様体上の微分形式とどのように関係するか？
• RQ4 HLおよびRS部分多様体の変形理論は、トーションフリーなG₂構造を超えて一般化可能か？
• RQ5 G₂多様体上の交差積およびフレーム場の幾何的構造は、これらの部分多様体の定義と分析をどのように支援するか？

主な発見

• 滑らかでコンパクトかつ向き付け可能な3次元ハーヴェイ＝ローワン部分多様体の無限小変形の空間は、部分多様体上の滑らかな関数の空間と閉2形式の空間の直和に同型である。
• 滑らかでコンパクトかつ向き付け可能な4次元RS部分多様体の無限小変形の空間は、部分多様体上の閉3形式の空間に同型である。
• HL部分多様体の変形空間は無限次元であり、モジュライ空間の非コンパクト性を反映している。
• RS部分多様体の変形空間も無限次元であり、閉3形式によってパrameter化される。
• 結果は、トーションフリー構造に限らず、閉または共閉G₂構造を持つ多様体に対しても成り立つ。
• HL部分多様体における交差積の幾何的役割と、RS部分多様体における三重交差積の役割は、シンプレクティックラグランジュ部分多様体におけるほぼ複素構造の役割を模倣する。