[論文レビュー] Deformations of modified $r$-matrices and cohomologies of related algebraic structures

Jun Jiang, Yunhe Sheng|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2022

Advanced Topics in Algebra参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、修正された $r$-行列のための特徴的コホロジー理論を導入し、この枠組みを用いて代数的・幾何的・線形の3つの変形理論を展開する。代数的変形を支配する微分付きリーホモロジー代数を確立し、コホロジーの消滅を用いて剛性および滑らかさの条件を証明するとともに、自明な線形変形のためのニエンヒュイズ要素を導入する。主な結果として、変形のコホロロジー的特徴付けと、マッチドペアおよび相性のとれたポアソン構造への応用が得られる。

ABSTRACT

Modified $r$-matrices are solutions of the modified classical Yang-Baxter equation, introduced by Semenov-Tian-Shansky, and play important roles in mathematical physics. In this paper, first we introduce a cohomology theory for modified $r$-matrices. Then we study three kinds of deformations of modified $r$-matrices using the established cohomology theory, including algebraic deformations, geometric deformations and linear deformations. We give the differential graded Lie algebra that governs algebraic deformations of modified $r$-matrices. For geometric deformations, we prove the rigidity theorem and study when is a neighborhood of a modified $r$-matrix smooth in the space of all modified $r$-matrix structures. In the study of trivial linear deformations, we introduce the notion of a Nijenhuis element for a modified $r$-matrix. Finally, applications are given to study deformations of complement of the diagonal Lie algebra and compatible Poisson structures.

研究の動機と目的

• 修正された $r$-行列のためのコホロジー理論を、誘導されたリーリー代数 $\mathfrak{g}_R$ のチェバレフ＝アイレンベルク複体を用いて構築すること。
• 統一的なコホロロジー的枠組みの中で、修正された $r$-行列の代数的・幾何的・線形変形を研究すること。
• 代数的変形を支配する微分付きリーホモロジー代数を確立し、デリーニュ＝ドリナフェルト＝コンツェビッチのスローガンを満たすこと。
• $H^2(R)$ および $H^3(R)$ の消滅を用いて、幾何的変形における剛性および滑らかさの定理を証明すること。
• 自明な線形変形のためのニエンヒュイズ要素の概念を導入し、$\mathfrak{g}_R$ 上のニエンヒュイズ作用素と関連付けること。

提案手法

• 修正された $r$-行列 $R$ のコホロジーを、$[x,y]_R = [R(x),y]_\mathfrak{g} + [x,R(y)]_\mathfrak{g}$ を満たすリーリー代数 $\mathfrak{g}_R$ における、$\mathfrak{g}$ に倣ったチェバレフ＝アイレンベルクコホロジーとして定義する。
• コホロジー複体と次数付きリーブラケットを用いて、$R$ の代数的変形を制御する微分付きリーホモロジー代数（DGLA）を構成する。
• 軌道法を用いて幾何的変形 $R_t$ を分析し、軌道 $\mathrm{Orb}_R$ の接空間を2次コバウンダリー $B^2(R)$ の空間として同定する。
• クルラシの写像を用いて、2次コサイクルが幾何的変形を導くための必要十分条件を特徴付ける。
• 線形変形 $R_t = R + t\hat{R}$ を定義し、$\mathrm{ad}_x$ が $\mathfrak{g}_R$ 上のニエンヒュイズ作用素であるような $x \in \mathfrak{g}$ を用いて自明な変形を同定する。
• 2つの設定に理論を適用する：$\mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}$ 内の補完部分の変形、および $\mathfrak{g}^*$ 上の相性のとれたポアソン構造。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 修正された $r$-行列のためのコホロジー理論はどのように定義され、ロータ＝バーティング作用素のコホロジーとどのように関係するか？
• RQ2 代数的変形を支配する微分付きリーホモロジー代数は何か？
• RQ3 修正された $r$-行列が幾何的変形において剛性または局所的に滑らかであるためのコホロロジー的条件は何か？
• RQ4 ニエンヒュイズ要素は、修正された $r$-行列の自明な線形変形を分類する上で果たす役割は何か？
• RQ5 修正された $r$-行列の変形は、双対空間 $\mathfrak{g}^*$ 上に相性のとれたポアソン構造をどのように誘導するか？

主な発見

• $R = \mathrm{Id} + 2B$ である修正された $r$-行列 $R$ のコホロジーは、重み1の対応するロータ＝バーティング作用素 $B$ のコホロジーと同型である。
• $R$ の代数的変形は、微分付きリーホモロジー代数によって支配され、一般の変形理論的スローガンを裏付ける。
• $H^2(R) = 0$ ならば、$R$ は幾何的変形において剛性である。$H^3(R) = 0$ ならば、修正された $r$-行列の空間は $R$ の近傍で滑らかな多様体である。
• 2次コサイクル $\hat{R}$ が幾何的変形を導くための必要十分条件は、クルラシ写像によるクルラシ条件の満たし方である。
• 線形変形 $R_t = R + t\hat{R}$ が自明であるための必要十分条件は、$\hat{R}$ が $\mathfrak{g}$ 内のニエンヒュイズ要素 $x$ に対応し、$\mathrm{ad}_x$ が $\mathfrak{g}_R$ 上のニエンヒュイズ作用素であることである。
• $\mathbb{R}$ の任意の $t_1, t_2$ に対して、$\mathfrak{g}^*$ 上のポアソン構造 $\{\cdot,\cdot\}_{R_{t_1}}$ と $\{\cdot,\cdot\}_{R_{t_2}}$ は相性がとれている。なぜなら $R_{t_1} + R_{t_2}$ もまた修正された $r$-行列であるからである。