[論文レビュー] Formal deformations of morphisms of associative algebras

Dennis Borisov|ArXiv.org|Jun 23, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、dg結合的代数間の準同型とその定義域・値域の同時変形を制御する $\mathcal{L}_{\infty}$-代数を構成する。その $\mathcal{L}_{\infty}$-代数の単体的デリーニュ群体が変形群体と弱同値であることを証明し、そのコホロロジーが古典的なゲルステンハーバー＝シュックコホロロジーと一致することを示し、先行研究との整合性を確認する。

ABSTRACT

The strong homotopy Lie algebra, controlling simultaneous deformations of a morphism of associative algebras and its domain and codomain is constructed. Isomorphism of the cohomology of this strong homotopy Lie algebra with the classical construction is shown.

研究の動機と目的

• dg結合的代数間の準同型の形式的変形理論を記述すること、すなわち、準同型およびその定義域・値域の同時変形を含むこと。
• 合成に起因する高次演算が生じるため、Lie代数ではなく $\mathcal{L}_{\infty}$-代数を用いて、これらの同時変形を支配する代数的構造を構成すること。
• 構成された $\mathcal{L}_{\infty}$-代数の単体的デリーニュ群体が、実際の変形群体と弱同値であることを確立すること。
• 構成された $\mathcal{L}_{\infty}$-代数のコホロロジーが、古典的なゲルステンハーバー＝シュックコホロロジーと一致することを証明し、先行研究との整合性を確認すること。

提案手法

• dg代数の準同型の圏の単体的局所化を用い、ホモトピー的変形を単体的圏間の関手のファイバーとしてモデル化する。
• 変形問題をホッホシュハイルドコホモロジーへの $\mathcal{A}_{\infty}$-構造への翻訳により、Maurer-Cartan方程式を介した $\mathcal{L}_{\infty}$-代数の定義を可能にする。
• 余自由コボルダのコデリバーションと準同型を用いて $\mathcal{L}_{\infty}$-代数を定義し、代数的準同型の合成構造を反映する演算を備える。
• バーバー・コールバー構成を用いて、$\mathcal{L}_{\infty}$-代数のデリーニュ群体から変形群体への単体的関手を構成する。
• バーバー・コールバー構成が写像空間に弱同値を誘導することを示すことにより、デリーニュ群体と変形群体との間の弱同値を証明する。
• ほとんど自由で非正の次数付き代数のコフェイブル性に依拠し、モデル圏論を用いてファイバー計算の正当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dg結合的代数における準同型およびその定義域・値域の同時変形を、ホモトピー代数を用いてどのように形式化できるか？
• RQ2 この変形問題において、Lie代数ではなく $\mathcal{L}_{\infty}$-代数がなぜ必要とされるのか？
• RQ3 構成された $\mathcal{L}_{\infty}$-代数の単体的デリーニュ群体は、実際の変形群体と同値であるか？
• RQ4 $\mathcal{L}_{\infty}$-代数のコホロロジーは、代数の準同型に対する古典的なゲルステンハーバー＝シュックコホロロジーと一致するか？
• RQ5 高次演算（例えば三項演算）は、変形複体における準同型の合成からどのように自然に生じるか？

主な発見

• 構成された $\mathcal{L}_{\infty}$-代数は、dg結合的代数における準同型およびその定義域・値域の同時変形を支配する。
• $\mathcal{L}_{\infty}$-代数のデリーニュ群体は、変形群体と弱同値である。これにより、$\mathcal{L}_{\infty}$-代数が正しい変形関手であることが確立される。
• $\mathcal{L}_{\infty}$-代数のコホロロジーは、古典的なゲルステンハーバー＝シュックコホロロジーと同型であり、先行研究との整合性が確認される。
• $\mathcal{L}_{\infty}$-代数複体上の微分は、$C^\bullet(A,A) \oplus C^\bullet(B,B) \to C^\bullet(A,B)$ のコーンに、準同型 $\gamma$ によるねじれを加えたものであり、既知の微分と一致する。
• コホロロジー上のLie代数構造は、$\mathcal{L}_{\infty}$-構造の二項演算から生じるが、これはゲルステンハーバー＝シュック理論で用いられるサークル積の交換子と一致する。
• この構成は、非正の次数付き代数のコフェイブル性に依拠しており、モデル圏の設定においてファイバー計算の正当性が保証される。