[論文レビュー] Deformations of Singular Minimal Hypersurfaces I, Isolated Singularities

Zhihan Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 64被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、次元 ≥ 7 において、厳密に安定かつ厳密に最小化する接錐をもつ特異的最小超曲面の近傍で、最小超曲面の存在および一般性のある滑らかさを確立する。線形解析およびジャコビ場の漸近展開を用いて、小さな計量摂動の下で、近傍に最小超曲面が存在し、一般の摂動では滑らかであることを証明し、このような超曲面がその近傍で一意にホモロジカルに最小化されることを示す。

ABSTRACT

Locally stable minimal hypersurface could have singularities in dimension $\geq 7$ in general, locally modeled on stable and area-minimizing cones in the Euclidean spaces. In this paper, we present different aspects of how these singularities may affect the local behavior of minimal hypersurfaces. First, given a non-degenerate minimal hypersurface with strictly stable and strictly minimizing tangent cone at each singular point, under any small perturbation of the metric, we show the existence of a nearby minimal hypersurface under new metric. For a generic choice of perturbation direction, we show the entire smoothness of the resulting minimal hypersurface. Second, given a strictly stable minimal hypersurface $Σ$ with strictly minimizing tangent cone at each singular point, we show that $Σ$ is uniquely homologically minimizing in its neighborhood. Lastly, given a family of stable minimal hypersurfaces multiplicity $1$ converges to a stable minimal hypersurface $Σ$ in an eight manifold, we show that there exists a non-trivial Jacobi field on $Σ$ induced by these converging hypersurfaces, which generalizes a result by Ben Sharp in smooth case; Moreover, positivity of this Jacobi field implies smoothness of the converging sequence.

研究の動機と目的

• 計量摂動の下での特異的最小超曲面の局所モジュライ問題を扱う。
• 厳密に安定かつ最小化する接錐をもつ特異的点の近傍における最小超曲面の一般性のある正則性を確立する。
• このような特異的最小超曲面がその近傍で一意にホモロジカルに最小化されることを証明する。
• ベン・シャープのジャコビ場に関する結果を特異的状況に一般化し、安定超曲面の収束列から非自明なジャコビ場が生じることを示す。
• 特異的最小超曲面の近傍の剛性およびフォリエーション性質を調査する。

提案手法

• 孤立特異点の近傍におけるジャコビ作用素への線形解析を用い、$L^2$-非集中性および漸近的挙動に注目する。
• 安定超円錐の幾何的性質を活用して、特異点近傍におけるジャコビ方程式の解の漸近的展開を実行する。
• 非退化性および厳密安定性の仮定の下で、計量-最小超曲面対の空間にFredholm理論およびBanach多様体構造を適用する。
• 摂動論を用いて片側変形を構成し、小規模な$C^4$計量変更の下で近傍に最小超曲面が存在することを保証する。
• バリフの収束およびインデックス比較を用いて、安定超曲面の列を極限における非自明なジャコビ場と関連付ける。
• 強いmin-max性質および制約付き最小化を用いて、最小化超曲面の一意性と剛性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の閉じた局所安定最小超曲面は、ジャコビ場に対して$L^2$-非集中性を満たすか？
• RQ2 特異的最小超曲面に収束する安定最小超曲面の列に対応する非自明なジャコビ場が存在するか？
• RQ3 固定された小さな計量摂動の下で、近傍の最小超曲面は一意的か。特にシモンズ円錐の場合にそうか？
• RQ4 孤立特異点をもつ特異的最小超曲面の近傍に、平均凸フォリエーションを構成できるか？
• RQ5 非自明なジャコビ場の存在は、収束する超曲面列の滑らかさを示唆するか？

主な発見

• 任意の$\epsilon > 0$に対して、$\delta > 0$が存在し、$\|g' - g\|_{C^4} \leq \delta$ ならば、$\Sigma$の$\epsilon$-近傍内に近傍の最小超曲面$\Sigma'$が存在する。
• $C^k$-一般摂動$f \in C^\infty(M)$に対して、対応する最小超曲面$\Sigma'$は滑らかであり、一般性のある正則性が確立される。
• 与えられた仮定の下で、特異的最小超曲面$\Sigma$はその近傍で一意にホモロジカルに最小化される。
• 8次元多様体において、安定最小超曲面の列が$\Sigma$に収束するとき、$\Sigma$上に非自明なジャコビ場が存在する。
• 誘導されたジャコビ場の正値性は、収束列の滑らかさを示し、滑らかな場合の結果を一般化する。
• 接錐が厳密に最小化されない場合には結果が成り立たないことが、命題8.1で示されており、この条件の必要性が裏付けられる。