[論文レビュー] Deforming submanifolds of arbitrary codimension in a sphere

Kefeng Liu, Hongwei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、第二基本形式の積分的 $L^p$-ノルムによる境界を満たす閉部分多様体の単位球面 $\mathbb{S}^{n+d}$ 上での平均曲率流れの収束定理を確立する。$L^p$-ノルムが十分に小さい場合、流れは有限時間内に丸い点に収束するか、$t\to\infty$ のとき完全測地的球面に収束する。これにより、任意のcodimensionを持つ部分多様体に対する微分的球面定理が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we prove some convergence theorems for the mean curvature flow of closed submanifolds in the unit sphere $\mathbb{S}^{n+d}$ under integral curvature conditions. As a consequence, we obtain several differentiable sphere theorems for certain submanifolds in $\mathbb{S}^{n+d}$.

研究の動機と目的

• 閉部分多様体 $M \subset \mathbb{S}^{n+d}$ における平均曲率流れの収束定理を、積分的曲率条件の下で確立すること。
• ハイズケンの超曲面に対する収束結果を、任意のcodimensionを持つ部分多様体へ拡張すること。
• 第二基本形式の $L^p$-ノルム境界の下で、平均曲率流れを用いて微分的球面定理を証明すること。
• $\|A\|_{L^p} < C_{n,p}$ ならば球面的収束または収縮が保証されるような、明示的かつ計算可能な閾値 $C_{n,p}$ を提供すること。
• Conjecture 1.4 の一部を解決すること、すなわち $\|\mathring{A}\|_{L^n} < C_n$ が $\mathbb{S}^n$ への微分同相を示すことを示すこと。

提案手法

• $n \geq 3$, $d \geq 1$ に対して、閉部分多様体 $M \subset \mathbb{S}^{n+d}$ 上の平均曲率流れ $\partial_t F = H$ を用いる。
• 第二基本形式 $A$ の $L^p$-ノルムによる境界を、曲率ピンチィング条件として適用する。
• モーザー反復技法を用いてトレースレス第二基本形式 $\mathring{A}$ の点での推定を得る。
• $H$ および $\mathring{A}$ の事前 $L^p$ および $L^q$ 推定を用いて、曲率の時間発展を制御し、特異性の発生を防ぐ。
• アンドリュース＝ベイカーおよびリウ＝シュウ＝イェー＝チョウの収束定理を応用し、長期的挙動を結論づける。
• 反復的推定と幾何的不等式を用いて、計算可能な定数 $C_{n,p}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉部分多様体が $\mathbb{S}^{n+d}$ 内で平均曲率流れを受けるとき、どのような積分的曲率条件下で、丸い点に収束するか、または完全測地的球面に収束するか？
• RQ2 任意のcodimensionを持つ部分多様体に対して、$L^p$-ノルムによる曲率境界を用いて、微分的球面定理を確立できるか？
• RQ3 $\|A\|_{L^p} < C_{n,p}$ が球面的収束または収縮を保証するような、最適な明示的閾値 $C_{n,p}$ は何か？
• RQ4 $A$ の $L^p$-ノルムは、高次元のcodimensionにおける平均曲率流れの長期的挙動をどのように制御するか？
• RQ5 Conjecture 1.4 が、$\|\mathring{A}\|_{L^n} < C_n$ ならば $\mathbb{S}^n$ への微分同相を示す、という主張を、平均曲率流れを用いて部分的に解決できるか？

主な発見

• $p \in (n, \infty)$ に対して $\|A\|_{L^p} < C_{n,p}$ ならば、平均曲率流れは有限時間内に丸い点に収束するか、$t \to \infty$ のとき $\mathbb{S}^{n+d}$ 内の完全測地的球面に収束する。$C_{n,p}$ は明示的に計算可能である。
• 閾値 $C_{n,p}$ は $\min\{100, \max\{C_1(n,p,p,100), C_2(n,p,p,100n^{1/2})\} \to$ と与えられ、$C_1$ および $C_2$ は曲率推定とモーザー反復から導出される。
• $n=3$ の場合、$\varepsilon \leq \varepsilon_0 = \left(\frac{4}{3c_{10}}\right)^{1/2}$ ならば、$M_{T_0/2}$ 上で $|A|^2 \leq \frac{4|H|^2}{9} + \frac{4}{3}$ が成り立ち、球面的収束が保証される。
• $n \geq 4$ の場合、同じ条件下で $M_{T_0/2}$ 上で $|A|^2 \leq \frac{|H|^2}{n-1} + 2$ が成り立ち、球面に収束することが示される。
• 証明により、$T > \min\{T_1, T_2\}$ が成り立つことが示され、初期時間区間を超えて流れが定義可能であり、特異性が発生するのは収縮が起こる場合に限る。
• 本結果により、Conjecture 1.4 の一部が解決され、与えられた流れの条件下で $\|\mathring{A}\|_{L^n} < C_n$ ならば $\mathbb{S}^n$ への微分同相が示される。