[論文レビュー] The global geometry of surfaces with prescribed mean curvature in $\mathbb{R}^3$

Antonio Bueno, José A. Gálvez+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 50被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ガウス写像の関数として$C^1$関数である prescribed mean curvature $\mathcal{H}$ を持つ$\mathbb{R}^3$内の完全な曲面のグローバル理論を展開する。曲面の高さおよび曲率の事前推定値を確立し、特定の条件下で完全な安定曲面の非存在を証明し、1つの端しか持たない正しく埋め込まれた曲面を分類することで、定数平均曲率および自己移動ソリトンの古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

We develop a global theory for complete hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$ whose mean curvature is given as a prescribed function of its Gauss map. This theory extends the usual one of constant mean curvature hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$, and also that of self-translating solitons of the mean curvature flow. For the particular case $n=2$, we will obtain results regarding a priori height and curvature estimates, non-existence of complete stable surfaces, and classification of properly embedded surfaces with at most one end.

研究の動機と目的

• 定数平均曲率（CMC）超曲面および平均曲率流れの自己移動ソリトンのグローバル理論を、$\mathbb{R}^{n+1}$における$\mathcal{H}$-超曲面のより広いクラスへ拡張すること。
• 曲率関数$\mathcal{H}$にやや弱い仮定を課した場合の、$\mathbb{R}^3$内における完全$\mathcal{H}$-曲面の事前高さおよび曲率推定値を確立すること。
• $\mathcal{H}$が特定の対称性および正の性質を満たす場合、$\mathbb{R}^3$内に完全な安定$\mathcal{H}$-曲面が存在しないことを証明すること。
• $\mathcal{H}$に適切な正則性および対称性仮定を課した場合、$\mathbb{R}^3$内に高々1つの端しか持たない正しく埋め込まれた$\mathcal{H}$-曲面を分類すること。
• 第二基本形式が一様に有界な$\mathcal{H}$-曲面の列に対してコンパクトネス理論を構築し、定数平均曲率曲面への収束を導くこと。

提案手法

• 最大原理および$\mathcal{H}$-曲面を接超平面へのグラフとして表す局所準線形楕円型偏微分方程式表現を用いる。
• $\mathcal{H}$に関する対称性仮定の下で、動く平面法およびアレクサンドロフの反射原理を適用し、幾何的制約を導出する。
• 第二基本形式が発散する$\mathcal{H}$-曲面の列に対してスケーリング技術を用い、定数平均曲率の極限曲面を抽出する。
• $\mathcal{H}$-曲面の安定性条件を用いてシュレーディンガー作用素を制御し、安定なCMC曲面への収束を導出する。
• 曲率および$\mathcal{H}$-関数の$C^1(\mathbb{S}^2)$収束を活用して、スケーリングされた曲面における$C^3$位相におけるコンパクトネス定理を適用する。
• $\mathcal{H}$の勾配およびヘッセ行列が消える場合のスケーリングされた$\mathcal{H}$-曲面の極限挙動を分析し、極限平均曲率が非ゼロの場合に矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、$\mathbb{R}^3$内における完全$\mathcal{H}$-曲面が事前高さおよび曲率推定値を有するか？
• RQ2 非定数$\mathcal{H}$に対して、対称性および正の性質仮定の下で、完全な安定$\mathcal{H}$-曲面の非存在を確立できるか？
• RQ3 高々1つの端しか持たない$\mathbb{R}^3$内における正しく埋め込まれた$\mathcal{H}$-曲面はどのように分類されるか？
• RQ4 第二基本形式が有界な$\mathcal{H}$-曲面の列がスケーリングされた場合、どのように振る舞うか？
• RQ5 $\mathcal{H}$-関数が$C^1(\mathbb{S}^2)$でゼロに収束する場合、スケーリングされた$\mathcal{H}$-曲面の極限はどのようになるか？

主な発見

• $\mathcal{H}$が恒等的にゼロでなく、十分な対称性および正の性質を満たす場合、$\mathbb{R}^3$内に完全な安定$\mathcal{H}$-曲面は存在しない。
• $\mathcal{H}(x_0) = 0$ が$\mathbb{S}^2$のある点$x_0$で成り立つならば、$\mathbb{R}^3$内にコンパクトな$\mathcal{H}$-超曲面は存在しない。
• $\mathcal{H}$にやや弱い正則性および対称性仮定を課した場合、$\mathbb{R}^3$内に高々1つの端しか持たない正しく埋め込まれた$\mathcal{H}$-曲面は分類可能である。
• 第二基本形式が一様に有界で、$\mathcal{H}$-関数が$C^1(\mathbb{S}^2)$でゼロに収束する$\mathcal{H}$-曲面の列は、スケーリング後に$C^3$位相で平面に部分列収束する。
• $\mathcal{H}$-勾配およびヘッセ行列が消える場合のスケーリングされた$\mathcal{H}$-曲面の極限は、安定な定数平均曲率曲面でなければならない。極限平均曲率が非ゼロの場合、矛盾が生じる。
• 安定$\mathcal{H}$-曲面の非存在の証明は、極限曲面が平面でなければならないという事実に依拠しており、これはスケーリングされた平均曲率関数がゼロに近づく必要があることを意味し、非ゼロの極限平均曲率の仮定と矛盾する。