[論文レビュー] Deforms of symmetric simple modular Lie (super)algebras

Sofiane Bouarroudj, Pavel Grozman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 58被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、正の特性を持つ代数的に閉じた体上の、有限次元の対称的単純モジュラーリー（スーパー）代数の変形を分類し、ランク < 9 かつ ADE型のスーパー化を除いて考察する。すべての奇コサイクルによる無限小変形が超多様体上での積分可能であることが示され、新しい代数が得られ、特性 3 の 29 次元のブラウン代数、ワイズフェーラー＝カス代数、特性 2 のカルタン行列を持たない直交代数の完全な変形モジュライが特定される。

ABSTRACT

We say that a~Lie (super)algebra is ``symmetric if with every root (with respect to the maximal torus) it has its opposite of the same multiplicity. Over algebraically closed fields of positive characteristics we describe the deforms (results of deformations) of all known simple finite-dimensional symmetric Lie (super)algebras of rank $<9$, except for superizations of the Lie algebras with ADE root systems. The moduli of deformations of any Lie superalgebra constitute a supervariety. Any infinitesimal deformation given by any odd cocycle is integrable with an odd parameter running over a~supervariety. All deforms corresponding to odd cocycles are new. Among new results are classification of the deforms of the 29-dimensional Brown algebra in characteristic 3, of Weisfeiler-Kac algebras and orthogonal Lie algebras without Cartan matrix in characteristic 2. For the Lie (super)algebras considered, all cocycles are integrable, the deforms corresponding to the weight cocycles are usually linear in the parameter. Problem: describe isomorphic deforms. Appendix: For several modular analogs of complex simple Lie algebras, and simple Lie algebras indigenous to characteristics 3 and 2, we describe the space of cohomology with trivial coefficients. We show that the natural multiplication in this space is very complicated.

研究の動機と目的

• 代数的に閉じた体上の正の特性における、ランク < 9 の既知の単純有限次元対称リー（スーパー）代数のすべての変形を分類すること。
• 変形のモジュライ空間を解析し、特に奇コサイクルによる変形において、それが超多様体をなすことを示すこと。
• すべての無限小変形が積分可能であるかどうかを特定すること、特に奇コサイクルから生じる変形について。
• 変形理論から生じる新しいリー（スーパー）代数を特定・分類すること、特に特性 2 および 3 において。
• 複素単純リー代数のモジュラー版および特徴的 2,3 におけるインディジェナス代数の、自明係数をもつコホモロジー空間を記述すること。

提案手法

• 正の特性の体上のリー（スーパー）代数の変形理論を用い、ルート系に関して対称的な代数に焦点を当てる。
• 自明係数をもつコホモロジー空間を解析し、コサイクルによる無限小変形を分類する。
• 積分可能性基準を適用して、無限小変形が形式的変形に拡張可能かどうかを特定する。特に奇コサイクルに対して。
• 変形のモジュライ空間を、奇コサイクル変形の場合は奇パラメータによってパラメトライズされた超多様体として構成する。
• ルート系の対称性および多重度の条件を用いて、考察対象の代数のクラスを制限する。
• 明示的計算と構造的解析を用いて、特に特性 3 の 29 次元ブラウン代数を含む特定代数の変形を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク < 9 の対称的単純モジュラーリー（スーパー）代数のうち、正の特性で非自明な変形を許容するものはどれか？
• RQ2 奇コサイクルから生じるすべての無限小変形は積分可能であり、それらは新しいリー（スーパー）代数をもたらすのか？
• RQ3 これらの代数の変形モジュライ空間の構造は何か、特に奇コサイクルの場合には？
• RQ4 特性 2 および 3 における複素単純リー代数のモジュラー版およびインディジェナス代数の、自明係数をもつコホモロジー空間はどのように振る舞うか？
• RQ5 どの変形が同型であり、同型な変形はどのように分類できるか？

主な発見

• 考察対象のリー（スーパー）代数のすべての無限小変形は積分可能であり、奇コサイクルから生じる変形は新しい代数をもたらす。
• 任意のリー超代数の変形モジュライ空間は超多様体であり、奇コサイクル変形の場合は奇パラメータによってパラメトライズされる。
• 特性 3 の 29 次元ブラウン代数は、変形の完全な分類が可能であり、新たな変形を含む。
• ワイズフェーラー＝カス代数および特性 2 のカルタン行列を持たない直交リー代数は、変形理論において完全に分類される。
• 複素単純リー代数のモジュラー版の自明係数をもつコホモロジー空間は、非常に非自明で複雑な積構造を示す。
• 重みコサイクルに対応する変形は通常、変形パラメータに関して線形であるため、構造的かつ予測可能な振る舞いを示す。