[論文レビュー] Degenerate two-boundary centralizer algebras

Zajj Daugherty|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$M$ と $N$ が長方形の分割によって添字づけられた既約モジュールであるテンソル空間 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ における $\mathfrak{gl}_n$ や $\mathfrak{sl}_n$ の作用の中心化子代数として、退化二重境界ブレード代数 $\mathcal{G}_k$ を導入する。$\mathcal{G}_k$ の商として拡張された退化二重境界ヘッケ代数 $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ を定義し、その作用がリー代数の作用と可換であることを証明し、パスに基づく基底と組合せ的公式を持つ半正規表現理論を確立する。

ABSTRACT

Diagram algebras (e.g. graded braid groups, Hecke algebras, Brauer algebras) arise as tensor power centralizer algebras, algebras of commuting operators for a Lie algebra action on a tensor space. This work explores centralizers of the action of a complex reductive Lie algebra $\mathfrak{g}$ on tensor space of the form $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$. We define the degenerate two-boundary braid algebra $\mathcal{G}_k$ and show that centralizer algebras contain quotients of this algebra in a general setting. As an example, we study in detail the combinatorics of special cases corresponding to Lie algebras $\mathfrak{gl}_n$ and $\mathfrak{sl}_n$ and modules $M$ and $N$ indexed by rectangular partitions. For this setting, we define the degenerate extended two-boundary Hecke algebra $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ as a quotient of $\mathcal{G}_k$, and show that a quotient of $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ is isomorphic to a large subalgebra of the centralizer. We further study the representation theory of $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ to find that the seminormal representations are indexed by a known family of partitions. The bases for the resulting modules are given by paths in a lattice of partitions, and the action of $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ is given by combinatorial formulas.

研究の動機と目的

• テンソル空間に二重境界モジュール $M$ と $N$ を持つ場合のシュール＝ウェイル双対性を一般化し、新たな中心化子代数を構成すること。
• リー代数 $\mathfrak{g}$ の作用と可換となる $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 上の作用をもつ普遍代数として、退化二重境界ブレード代数 $\mathcal{G}_k$ を定義すること。
• $\mathcal{G}_k$ の商として、拡張された退化二重境界ヘッケ代数 $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ を特定し、それが $\mathrm{End}_{\mathfrak{g}}(M \otimes N \otimes V^{\otimes k})$ の大きな部分代数へ同型に写像されることを示すこと。
• $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ の表現理論、特にその半正規表現を発展させ、パス基底上で作用を組合せ的公式で記述すること。

提案手法

• 退化二重境界ブレード代数 $\mathcal{G}_k$ は、複素数体 $\mathbb{C}$ 上の結合代数として、多項式環 $\mathbb{C}[x_1,\dots,x_k]$、$\mathbb{C}[y_1,\dots,y_k]$、$\mathbb{C}[z_0,\dots,z_k]$、および対称群代数 $\mathbb{C}S_k$ を生成元として持ち、多項式生成子とブレード群生成子の間の関係をもつ。
• $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 上への $\mathcal{G}_k$ の作用は、$\kappa_{M,\leq i}$、$\kappa_{N,\leq i}$、$\kappa_{V,\leq i}$、および $t_{s_i}$ によって定義され、これらはリー代数の作用をテンソル因子に符号化する。
• 重要な関係 $m_{i,i+1} = x_{i+1} - t_{s_i}x_i t_{s_i} = y_{i+1} - t_{s_i}y_i t_{s_i} = z_{i+1} - t_{s_i}z_i t_{s_i} = \gamma_{i,i+1}$ が導出され、ブレード群作用と多項式生成子の間の相互作用が置換 $t_{s_i}$ を介して示される。
• 拡張された退化二重境界ヘッケ代数 $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ は、$\mathfrak{gl}_n$ および $\mathfrak{sl}_n$ の長方形モジュール上の表現理論から生じる追加関係を $\mathcal{G}_k$ で商取ることで定義される。
• $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ の半正規表現は、分割のラティス上のパスモデルを用いて構成され、初期の分割から最終の分割へのパスによって基底ベクトルが添字づけられる。
• 生成子の作用に対するパス基底上での組合せ的公式が導出され、作用が明示的に計算可能であり、表現構造を保つことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$ または $\mathfrak{sl}_n$ が $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 上に作用する場合に、$M$ と $N$ が長方形の分割によって添字づけられた既約モジュールであるとき、普遍的な中心化子代数を構成できるか。
• RQ2 $\mathcal{G}_k$ は $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 上に、$\mathfrak{g}$-作用と可換に作用するか。また、中心化子代数へ全射となるか。
• RQ3 $\mathcal{G}_k$ の商としての $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ が、$\mathrm{End}_{\mathfrak{g}}(M \otimes N \otimes V^{\otimes k})$ の大きな部分代数へ同型に写像されるか。
• RQ4 $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ の表現理論は完全に記述可能か。特にその半正規表現は、既知の分割族によって添字づけられるか。
• RQ5 $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ のモジュール上での作用の行列係数は、パス基底上で明示的な組合せ的公式で表現可能か。

主な発見

• 退化二重境界ブレード代数 $\mathcal{G}_k$ は $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 上に作用し、$\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$ または $\mathfrak{sl}_n$ の作用と可換であることが、定理2.1で確立された。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{gl}_n$ または $\mathfrak{sl}_n$、$V$ を標準表現とし、$M$ と $N$ が長方形の分割によって添字づけられるとき、$\mathcal{G}_k$ の $\mathrm{End}_{\mathfrak{g}}(M \otimes N \otimes V^{\otimes k})$ 内での像は、拡張された退化二重境界ヘッケ代数 $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ を通して因数分解される。
• $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ は $\mathrm{End}_{\mathfrak{g}}(M \otimes N \otimes V^{\otimes k})$ の大きな部分代数と同型であることが、定理 LABEL:thm:Hecke-action で示された。
• $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ の半正規表現は、$M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ の分解に現れる同じ分割族によって添字づけられており、組合せ的双対性が確認された。
• 各 $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ の既約表現の基底は、分割のラティス上のパスによって与えられ、生成子の作用はパス構造を含む明示的な組合せ的公式で記述される。
• $\mathcal{H}_k^{\mathrm{ext}}$ のモジュール上での作用は、これらの公式により完全に計算可能であり、生成子 $x_i$、$y_i$、$z_i$、$t_{s_i}$ はパス基底上で明確な規則に従って作用する。