[論文レビュー] Degree 3 Cohomological Invariants of Groups that are Neither Simply Connected nor Adjoint

Hernando Bermudez, Anthony Ruozzi|arXiv (Cornell University)|May 13, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、メルクルジェーヴの完全系列を用いて、単純連結でもアドジョイントでもないタイプAおよびDの分解型半単純群に対して、次数3の正規化されたコhomological不変量を計算する。$\ mathrm{SL}_n/\mu_m$ および $\ mathrm{HSpin}_{4n}$ に対して新たな分解不能不変量を特定し、16の倍数の次数を持つ代数に対する正規化されたアラソン不変量を直交的自己同型の下で拡張し、これらの不変量とロスト不変量、$\ mathrm{PSp}_{2n}$ の不変量との間の関係を確立する。

ABSTRACT

In a recent paper A. Merkurjev constructed an exact sequence which includes as one of the terms the group of degree 3 normalized cohomological invariants of a semisimple algebraic group G, greatly extending results of M. Rost for simply connected quasi-simple groups. Furthermore, in the aforementioned paper, Merkurjev uses his exact sequence to determine the groups of invariants for all semisimple adjoint groups of inner type. The goal of this paper is to use Merkurjev's sequence to compute the group of invariants for the remaining split cases, namely groups of types A and D that are neither simply connected nor adjoint. This description not only demonstrates the existence of many previously unstudied invariants but also allows us to extend several known results which relate these invariants to the Rost invariant and algebras with involution.

研究の動機と目的

• タイプAおよびDの分解型群で、単純連結でもアドジョイントでもないものについて、次数3の正規化されたコhomological不変量の群を計算すること。
• ロストとメルクルジェーヴが研究した単純連結およびアドジョイントの場合を超えて、コhomological不変量の理論を拡張すること。
• メルクルジェーヴの完全系列を用いて、$\ mathrm{SL}_n/\mu_m$ および $\ mathrm{HSpin}_{4n}$ に対して新しい分解不能不変量を構成し、特徴づけること。
• これらの不変量をロスト不変量および $\ mathrm{PSp}_{2n}$ の不変量と関連づけ、特に直交的自己同型を持つ代数の文脈で考察すること。
• 直交的自己同型を持つ16の倍数の次数の中心的単純代数に対して、アラソン不変量を $\ mathrm{HSpin}_{4n}$ からの不変量を用いて拡張すること。

提案手法

• コhomological不変量 $\ mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{norm}}$ と $\mathrm{CH}^2(BG)_{\mathrm{tors}}$、$H^1(F,\hat{C}(1))$、$H^2(F,\hat{C}(1))$ の関係を示すメルクルジェーヴの完全系列を利用する。
• 中心 $C$ の特徴の沿った押し出しを用いて、接続準同型 $\sigma$ による $H^1(F,G) \to H^2(F,\mathbb{G}_m)$ を通して分解可能な不変量を区別する。
• 分解可能な不変量を $G = \mathrm{SL}_n/\mu_m$ および $G = \mathrm{HSpin}_{4n}$ に対して $\hat{C} \otimes F$ と特徴づける。
• 分解不能な不変量を、商 $\mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{ind}} = \mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{norm}} / \mathrm{Inv}^3(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))_{\mathrm{dec}}$ として分析する。
• 中心的単純代数に直交的自己同型を持つ場合に、$H^1(F,\mathrm{HSpin}_{4n})$ に上げて $H^3(F,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))/E(A)$ に写像することで不変量 $e_3(A,\sigma)$ を構成する。
• $x$ が自己同型を持つ代数に対応するとき、$H^3(F,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/P$ において $e_3(x) = \Delta(z) + e_3^{\mathrm{Spin}}(y)$ という公式を確立する。この公式は、$\ mathrm{PSp}_{2n}$ およびねじれた $\ mathrm{Spin}$ 群と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純連結でもアドジョイントでもないタイプ $\ mathrm{SL}_n/\mu_m$ の群について、次数3の正規化されたコhomological不変量の群の構造は何か？
• RQ2 $\mathrm{HSpin}_{4n}$ の分解不能不変量は、ロスト不変量や $\ mathrm{PSp}_{2n}$ の不変量といった既知の不変量を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 直交的自己同型を持つ16の倍数の次数の中心的単純代数に対して、$\ mathrm{HSpin}_{4n}$ からの不変量を用いてアラソン不変量を拡張できるか？
• RQ4 $\ mathrm{HSpin}_{4n}$ の不変量 $e_3$ とその群のティーツ代数との関係は何か？
• RQ5 $\ mathrm{SL}_n/\mu_m$ および $\ mathrm{HSpin}_{4n}$ の不変量は、メルクルジェーヴの完全系列を通じてロスト不変量および互いにどのように関係するか？

主な発見

• 群 $G = \mathrm{SL}_n/\mu_m$ および $G = \mathrm{HSpin}_{4n}$ について、分解可能な不変量の群は、普遍被覆の中心の特徴群 $\hat{C}$ と $F$ のテンソル積 $\hat{C} \otimes F$ に同型である。
• $\mathrm{HSpin}_{16}$ に対して、既知の分解不能不変量の結果を再確認・拡張し、$H^3(F,\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})/P$ において $e_3(x) = \Delta(z) + e_3^{\mathrm{Spin}}(y)$ という公式を提供する。ここで $\Delta$ は $\ mathrm{PSp}_8$ の不変量である。
• 直交的自己同型を持つ16の倍数の次数の中心的単純代数 $(A,\sigma)$ に対して、$e_3(A,\sigma) \in H^3(F,\mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))/E(A)$ に値をとるwell-definedな不変量にアラソン不変量 $e_3$ が拡張される。
• 体 $K$ が $A$ を分解するとき、$\operatorname{res}_{K/F}e_3(A,\sigma) = e_3(q_{\sigma \otimes K})$ を満たす。これは、$K$ 上の二次形式のアラソン不変量と関連付ける。
• 代数 $(A,\sigma)$ が $I^4$ に属するための必要十分条件は $e_3(A,\sigma) = 0$ であること。これはガリバルドの16次代数に関する結果を一般化する。
• 構成により、$I^3$ に属する8次代数に直交的自己同型を持つような不変量は存在しないことが示され、以前の研究の結果を確認する。