[論文レビュー] Degree growth for tame automorphisms of an affine quadric threefold

Nguyen-Bac Dang|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$xt - yz - 1 = 0$ で定義されるアフィン放物面三重多様体上のターム自己同型の次数成長を、CAT(0)正方形複体上の幾何的群作用を用いて調査する。任意のこのような自己同型の第一力学的次数 $\lambda_1(f)$ は 1 または $4/3$ 以上であり、ランダムな自己同型の積が正の次数成長指数を示す条件を同定することで、Urech が提起した問題をこの設定で解決する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the degree sequences of the tame automorphisms preserving an affine quadric threefold. Using some valuatives estimates derived from the work of Shestakov-Umirbaev and the action of this group on a CAT(0), Gromov-hyperbolic square complex constructed by Bisi-Furter-Lamy, we prove that the dynamical degrees of tame elements avoid any value strictly between 1 and 4/3. As an application, these methods allow us to characterize when the growth exponent of the degree of a random product of finitely many tame automorphisms is positive.

研究の動機と目的

• 代数閉体上での特徴が 0 のアフィン放物面三重多様体上の反復ターム自己同型の漸近的次数成長を理解すること。
• この三重多様体のターム自己同型の第一力学的次数 $\lambda_1(f)$ が取り得る値を特定すること。
• 有限個のターム自己同型のランダム積の次数成長指数が正である条件を同定すること。
• Urech (2016) が提起した、$\lambda_1(f) = 1$ を満たす自己同型がファイブレーションを保存するか、線形同型共役であるかの存在に関する問題を解決すること。

提案手法

• 自己同型の次数列を分析するために、Shestakov-Umirbaev 理論に基づくバリュエーション推定を用いる。
• Bisi-Furter-Lamy が構成した $\operatorname{CAT}(0)$ かつ Gromov-双曲的正方形複体へのターム自己同型群の作用を適用する。
• 群作用の構造を用いて、次数成長の観点から自己同型を三種類に分類する：有界、線形、または指数的成長。
• 正方形複体上のランダムウォークのドリフトおよび関連する Bass-Serre 樹を用いて、次数列の成長指数を分析する。
• 群および木におけるランダムウォークの大数の法則を適用し、ランダム積の漸近的次数成長を推定する。
• 等長群作用および複体内の距離推定を用いて、定数 $4/3$ を用いて次数成長の下界を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ターム自己同型の第一力学的次数 $\lambda_1(f)$ は、アフィン放物面三重多様体上でどのような値を取り得るか？
• RQ2 ターム自己同型のランダム積が正の次数成長指数を示す条件は何か？
• RQ3 $\lambda_1(f) = 1$ であるターム自己同型が、線形写像に同型共役であるか、ファイブレーションを保存する条件は何か？
• RQ4 幾何的群作用を用いて、反復ターム自己同型の次数成長を完全に分類できるか？
• RQ5 $\operatorname{CAT}(0)$ 正方形複体上の群作用の構造は、漸近的次数挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 任意のアフィン放物面三重多様体上のターム自己同型 $f$ に対して、第一力学的次数 $\lambda_1(f)$ は $\lambda_1(f) \in \{1\} \cup [4/3, \infty)$ を満たし、1 と $4\!\!\:/\!\!\!3$ の間の値は取り得ない。
• 任意のターム自己同型 $f$ に対して、次数列 $\deg(f^n)$ および $\deg(f^{-n})$ は、有界、線形成長、または少なくとも $\left(\frac{4}{3}\right)^n$ の割合で指数的成長のいずれかである。
• $\lambda_1(f) = 1$ であれば、$f$ はファイブレーションを保存するか、線形写像に同型共役であり、$\deg(f^n)$ および $\deg(f^{-n})$ はいずれも有界または線形に成長する。
• 有限個のターム自己同型のランダム積の次数成長指数 $\lambda$ が正であるのは、生成された群が正方形複体で非初等的であるか、関連する Bass-Serre 樹に可換でない双曲等長写像を含むときである。
• 群が初等的であるか、すべての元の次数が一様に有界であれば、成長指数 $\lambda$ は 0 であり、そうでなければ正である。これは幾何的複体上のランダムウォークのドリフトを用いて示された。
• 本稿は、Urech (2016) の予想をこの特殊な場合に確認した：$\lambda_1(f) = 1$ を満たす自己同型は、ファイブレーションを保存するか、線形写像に同型共役である。