[論文レビュー] On the primitivity of birational transformations of irreducible symplectic manifolds

Federico Bianco|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、動的次数が1より大きいものが少なくとも1つ存在する非可約シンプレクティック多様体上のビメロモーフィック変換が、不変ファイブレーションをもたない原始的であることを確立している。また、その一般軌道がザリスキ・DNAであることも示している。主な結果は、特にコhomology上での作用の力学に依拠しており、特にビーロイユ＝ボゴモロフ形式と $ H^2(X,\mathbb{Z}) $ 上の引き戻し写像のスペクトル性質に注目する。モジュラスが1より大きい固有値が存在する場合、不変ファイブレーションの存在が妨げられることを示している。

ABSTRACT

Let $f\\colon X\\dashrightarrow X$ be a bimeromorphic transformation of a complex irreducible symplectic manifold $X$. Some important dynamical properties of $f$ are encoded by the induced linear automorphism $f^*$ of $H^2(X,\\mathbb Z)$. Our main result is that a bimeromorphic transformation such that $f^*$ has at least one eigenvalue with modulus $>1$ doesn't admit any invariant fibration (in particular its generic orbit is Zariski-dense).

研究の動機と目的

• 非可約シンプレクティック多様体上のビメロモーフィック変換の原始的性を特徴づける動的基準を確立すること。
• 誘導された $ H^2(X,\mathbb{Z}) $ 上の作用のスペクトル性質と、不変ファイブレーションの不在を結びつけること。
• 少なくとも1つの動的次数が1より大きい場合、そのような変換の一般軌道がザリスキ・DNAであることを証明すること。
• コhomologicalおよびファイブレーション理論的技法を用いて、表面における動的結果を高次元の非可約シンプレクティック多様体へと拡張すること。

提案手法

• ビメロモーフィック写像による不変性を示す $ H^2(X,\mathbb{Z}) $ 上の誘導線形作用 $ f^* $ を分析し、ビーロイユ＝ボゴモロフ形式の不変性を活用する。
• コhomology的作用の成長を測るため、動的次数 $ \lambda_p(f) = \limsup_{n\to\infty} ||(f^n)^*_{|H^{p,p}}||^{1/n} $ を用いる。
• ファイブレーションの持ち上げの議論を適用：$ f $ がファイブレーション $ \pi: X \dashrightarrow B $ を不変にするならば、$ f $ は $ g: B \dashrightarrow B $ を誘導し、相対的動的次数 $ \lambda_p(f|\pi) $ を分析する。
• 一般型の一般ファイバーを持つ場合、有限エタール基底変更の後、ファイブレーションは等質的（isotrivial）になることを利用し、$ f $ による周期的ファイバーが得られることを示す。
• 相対的動的次数に関して $ \lambda_p(f) \geq \max_q \lambda_q(g) $ の不等式を適用し、不変ファイブレーションの可能性に制約を課す。
• 文献[5]および[1]の結果を応用し、不変ファイブレーションの不在から原始的性およびザリスキ・DNA性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可約シンプレクティック多様体上のビメロモーフィック変換が、いかなるメルモーフィックファイブレーションも不変としない条件は何か？
• RQ2 変換の $ H^2(X,\mathbb{Z}) $ 上のコhomological作用のスペクトル性質と、その動的次数とはどのように関係するか？
• RQ3 $ f^* $ が $ H^2(X,\mathbb{Z}) $ 上でモジュラスが1より大きい固有値を持つ場合、不変ファイブレーションの存在を妨げるか？
• RQ4 一般軌道のザリスキ・DNA性と変換の動的次数の関係は何か？

主な発見

• もし $ f^* $ がモジュラスが1より大きい固有値を持つならば、$ f $ は不変ファイブレーションをもたない。よって、原始的である。
• 同じ条件下で、$ f $ の一般軌道は、補題4.6および[1, 定理4.1]によりザリスキ・DNAであることが示されている。
• $ f $-周期的超曲面の数は、高々 $ \dim(X) + b_2(X) - 2 $ 個である。これは原始的性と[5, 定理B]から導かれる上限である。
• もし $ f $ がロクソドロミックで、ある $ p $ に対して $ \lambda_p(f) > 1 $ ならば、任意の $ f $-不変ファイブレーションの基底次元は、$ k $ を連続する等しい動的次数の数として、少なくとも $ 2n - k $ 以上でなければならない。
• 自己同型またはすべての連続する動的次数が相異なる写像については、基底次元の上限から直接的に原始的性が従う。
• 一般ファイバーが一般型の場合、相対的動的次数 $ \lambda_p(f|\pi) $ は恒等的に1である。これは $ \lambda_p(f) > 1 $ と矛盾し、不変ファイブレーションの排除をもたらす。