[論文レビュー] Degree one cohomology with twisted coefficients of the mapping class group

Jørgen Ellegaard Andersen, Rasmus Villemoes|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、滑らかさが g ≥ 1 で任意の境界成分数を持つ曲面に対して、SL₂(ℂ)-特徴多様体上の代数的関数空間の双対空間を係数とする写像類群の1次コホモロジー群が非自明であることを確立する。BFK図と群コホモロジー技法（シャピロの補題および余境界基準）を用いて、著者らはこのコホモロジー群が図の軌道代表元によってインデックス付けされた有限次元和成分に分解されることを証明し、ランタン関係や2つの穴あきトーラス関係といった幾何的関係を通じて非自明なコサイクルを明示的に構成する。

ABSTRACT

Let $Γ$ be the mapping class group of an oriented surface $Σ$ of genus g with r boundary components. We prove that the first cohomology group $H^1(Γ, O(M_{SL(2, C)})^*)$ is non-trivial, where the coefficient module is the dual of the space of algebraic functions on the $SL(2, C)$ moduli space over $Σ$.

研究の動機と目的

• 写像類群 Γ と SL₂(ℂ)-特徴多様体上の代数的関数空間の双対空間 O(M)* の間の1次コホモロジー群 H¹(Γ, O(M)*) の構造を特定すること。
• 任意の r ≥ 0 個の境界成分を持つ曲面に対して、このコホモロジー群が g ≥ 1 のとき非自明であることを確立すること。
• 写像類群作用における BFK 図 D の各軌道に対して、H¹(Γ, M_D) を計算するコホモロジー的アルゴリズムを構築すること。
• 変形量子化および幾何的量子化の文脈から、スター積の可積分性に関するコホモロジー的障害を関連付けること。

提案手法

• BFK 図の代数 B(Σ) とモジュライ空間上の代数的関数空間 O(M) 間の同型写像 ν: B(Σ) → O(M) を用いる。
• 双対空間 O(M)* を、BFK 図の集合上のすべての複素数値関数の空間、すなわち Map(B, ℂ) として実現する。
• シャピロの補題を適用して、図の軌道の安定化部分群上の誘導・余誘導加群を通じてコホモロジー群を分解する。
• 余境界基準を確立する：各図の軌道代表元 D に対して、写像 Γ_D × {D} への制限が恒等的に 0 であるとき、コサイクル u: Γ → O(M)* は余境界である。
• 写像類群におけるランタン関係や2つの穴あきトーラス関係といった幾何的関係を用いて、明示的な非自明なコサイクルを構成する。
• 分解 H¹(Γ, O(M)*) ≅ ∏_{D∈S} H¹(Γ, M̂_D) を用いて各和成分を解析し、有限次元性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 g ≥ 1 の曲面に対して、1次コホモロジー群 H¹(Γ, O(M)*) は非自明か？
• RQ2 BFK 図の軌道構造に関して、H¹(Γ, O(M)*) はどのように分解されるか？
• RQ3 ランタン関係や2つの穴あきトーラス関係といった幾何的関係は、非自明なコサイクルを構成する上で果たす役割は何か？
• RQ4 O(M)* に値をとるコサイクルの余境界条件は、図の安定化部分群を用いて特徴づけられるか？
• RQ5 個々の BFK 図の軌道代表元 D に対して、H¹(Γ, M̂_D) の構造はいかなるものか？

主な発見

• g ≥ 1 かつ r ≥ 0 のすべての曲面に対して、1次コホモロジー群 H¹(Γ_g,r, O(M)*) は、非自明なコサイクルの明示的構成により非自明であることが示された。
• コホモロジー群は、写像類群作用における BFK 図の軌道代表元の集合 S を用いて、直接積 ∏_{D∈S} H¹(Γ, M̂_D) に分解される。
• 各和成分 H¹(Γ, M̂_D) は有限次元であり、コホモロジー群が自明に無限次元的であることはないことが確認された。
• コサイクル u: Γ → O(M)* が余境界であるための必要十分条件は、各図の軌道代表元 D に対して、その安定化部分群 Γ_D × {D} への制限が恒等的に 0 であることである。
• H¹(Γ, O(M)*) の非自明性は、特にモジュライ空間上のスター積の等価性の文脈において、ある種のコサイクルの可積分性と関連している。
• g ≥ 3 のとき、1次ホモロジー群 H₁(Γ, ℤ) は消え、g = 2 のときは ℤ/10ℤ に同型である。これはアーベル化と群の関係を介してコホモロジーの非自明性を支持する。