[論文レビュー] Hitchin's connection, Toeplitz operators and symmetry invariant deformation quantization

Jørgen Ellegaard Andersen|ArXiv.org|Nov 6, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、トポロジカルな制約の下で、プリケントル化可能なコンパクトなシンプレクティック多様体上の剛体な複素構造のホロモルフィック族に対して、Hitchin接続の存在を確立する。Toeplitz作用素を用いて、Berezin-Toeplitz変形量子化同士の同値性を誘導する滑らかな関数上の形式的接続を構成する。Hitchin接続が射影的に平坦であるとき、形式的接続は平坦となり、対称性を保つ変形量子化をもたらす。モジュライ空間における平坦なSU(n)-接続の空間では、これによりシンプレクティック葉のマッピングクラス群に不変な量子化が得られる。

ABSTRACT

We establish that Hitchin's connection exist for any rigid holomorphic family of Kahler structures on any compact pre-quantizable symplectic manifold which satisfies certain simple topological constraints. Using Toeplitz operators we prove that Hitchin's connection induces a unique formal connection on smooth functions on the symplectic manifold. Parallel transport of this formal connection produces equivalences between the corresponding Berezin-Toeplitz deformation quantizations. - In the cases where the Hitchin connection is projectively flat, the formal connections will be flat and we get a symmetry-invariant formal quantization. If a certain cohomological condition is satisfied a global trivialization of this algebra bundle is constructed. As a corollary we get a symmetry-invariant deformation quantization. Finally, these results are applied to the moduli space situation in which Hitchin's originally constructed his connection. First we get a proof that the Hitchin connection in this case is the same as the connection constructed by Axelrod, Della Pietra and Witten. Second we obtain in this way a mapping class group invariant formal quantization of the smooth symplectic leaves of the moduli space of flat SU(n)-connections on any compact surface.

研究の動機と目的

• プリケントル化可能なコンパクトなシンプレクティック多様体 (M,ω) 上の特定のトポロジカル制約の下で、剛体な複素構造のホロモルフィック族に対してHitchin接続の存在を確立すること。
• Hitchin接続がToeplitz作用素を通じて滑らかな関数上の形式的接続を誘導することを示し、その平行移動がBerezin-Toeplitz変形量子化同士の同値性を誘導することを示すこと。
• Hitchin接続が射影的に平坦であるとき、誘導される形式的接続が平坦であることを証明し、これにより対称性を保つ形式的量子化が得られることを示すこと。
• コhomological条件の下で代数バンドルのグローバルな自明化を構成し、これによりグローバルに不変な対称性を保つ変形量子化が得られることを示すこと。
• 結果を平坦なSU(n)-接続のモジュライ空間に適用し、Axelrod-Della Pietra-Witten接続と同等であることを証明し、マッピングクラス群に不変なシンプレクティック葉の量子化を得ること。

提案手法

• パラメータ空間 T 上のベクトル場 V に対して ∂̄σ(G(V)σ) = 0 がすべての V で成り立つとき、プリケントル化可能なコンパクトなシンプレクティック多様体 (M,ω) 上のKähler構造の剛体族を定義する。
• 曲率 F∇ = iω/(2π) を持つプリケントル化線束 (L, ∇) を用いて、Hσ(k) = H⁰(Mσ, Lᵏ) として与えられる正則切断の族を定義し、これは自明バンドル T × C∞(M, Lᵏ) の滑らかな部分バンドル H(k) をなす。
• Hitchin接続 Ĥ∇ を Ĥ∇V = Ĥ∇Vt − u(V) として構成する。ここで u(V) は 2 階微分作用素で、u(V)(s) = (1/(2k+n)) { (1/2)ΔG(V)(s) − ∇G(V)dF(s) + 2kV′[F]s } で与えられる。
• Hitchin接続が射影的に平坦であるとき、滑らかな関数上に誘導される形式的接続が平坦であることを証明し、これにより対称性を保つ変形量子化が得られることを示す。
• 形式的接続を、コンパクトな曲面 Σ 上の平坦なSU(n)-接続のモジュライ空間に適用し、Hitchin接続がAxelrod, Della Pietra, Witten が構成した接続と一致することを示す。
• テイコフューラー空間の収縮性と誘導される自己準同型接続の平坦性を用いて、グローバルな自明化を構成し、マッピングクラス群に不変な滑らかなシンプレクティック葉の形式的量子化を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プリケントル化可能なコンパクトなシンプレクティック多様体上の剛体な複素構造のホロモルフィック族に対して、Hitchin接続がどのような条件下で存在するか。
• RQ2 Hitchin接続は滑らかな関数上の形式的接続をどのように誘導するのか。また、Berezin-Toeplitz変形量子化との関係は何か。
• RQ3 形式的接続が平坦であるのはいつか。そして、これは対称性を保つ変形量子化にどのような意味を持つのか。
• RQ4 コhomological条件の下で代数バンドルのグローバルな自販化を構成できるか。また、これにより量子化にどのような結果が得られるか。
• RQ5 平坦なSU(n)-接続のモジュライ空間において、Hitchin接続はAxelrod-Della Pietra-Witten接続と一致するか。また、マッピングクラス群に不変な量子化をもたらすか。

主な発見

• c₁(M,ω) = n[ω] が H²(M,Z) で成り立ち、H¹(M,R) = 0 であるというトポロジカル制約を満たす任意のプリケントル化可能なコンパクトなシンプレクティック多様体上の剛体なKähler構造のホロモルフィック族に対して、Hitchin接続が存在する。
• Hitchin接続が射影的に平坦であるとき、滑らかな関数上に誘導される形式的接続は平坦であり、対称性を保つ形式的量子化が得られる。
• H¹(Γ, C∞₀(M)) と H¹(M,R) が消える条件の下で、Γ-不変な *-積同士のΓ-不変な同値性が存在し、自明な可換束条件の下で量子化の一意性が示される。
• コンパクトな曲面 Σ 上の平坦なSU(n)-接続のモジュライ空間におけるHitchin接続は、Axelrod, Della Pietra, Witten が構成した接続と一致する。
• 誘導されたエンドモルフィズムバンドル上の接続は平坦であり、テイコフューラー空間の収縮性により、代数バンドルのグローバルな自販化が構成される。
• その結果、平坦なSU(n)-接続のモジュライ空間の各滑らかなシンプレクティック葉に対して、マッピングクラス群に不変な形式的変形量子化が得られる。