[論文レビュー] Degree three cohomology of function fields of surfaces

R. Parimala, V. Suresh|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限体上の曲面の関数体における3次コホモロジー類の局所-大域原理を確立し、$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ の類が、$ H^2(F, \mu_l^{\tens 2}) $ の与えられた類と $ H^1(F, \mu_l) $ の類のカップ積として局所的に表されるならば、それがグローバルにそう表されることを示している。この結果により、$ F $ が原始的 $ l $-乗根を含むとき、$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ のすべての元がシンボルであることが示され、既知の $ l=2 $ の結果を拡張する。この結果は、整数テート予想と、1次零サイクルに対するブラウアー＝マニン障害に応用される。

ABSTRACT

Let F be a finite field and l a prime not equal to the characteristic of F. Let K be the function field of a surface over F. Assume that K contains a primitive lth root of unity. In the paper we prove a certain local-global principle for elements of H^3(K, μ_l) in terms of symbols in H^2(K, μ_l) with respect to discrete valuations of K. We also show that this local global principle is equivalent to the vanishing of certain unramified cohomology groups of 3-folds over finite fields. Using this local-global principle we show that every element in H^3(F, μ_l) is a symbol. The vanishing of the unramified cohomology groups has consequences in the study of integral Tate conjecture and Brauer-Manin obstruction for existence of zero-cycles.

研究の動機と目的

• 有限体上の曲面の関数体における3次コホモロジー類の表現に関する局所-大域原理を確立し、固定されたシンボルと $ H^1(F, \mu_l) $ の類のカップ積として表されることを示す。
• 関数体 $ F $ が有限体上の曲面の関数体であり、原始的 $ l $-乗根を含むとき、$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ のすべての元がシンボルであることを証明する。
• 局所-大域原理を用いて、有限体上の曲面上の円柱ファイブレーションに対して、$ H^3_{nr}(K(C)/k, \mu_n^{\tens 2}) $ の非分岐コホモロジー群が消えることを示す。
• 有限体上の特定の3次元多様体について、1次サイクルの整数テート予想に帰結する結果を得る。
• 正標数のグローバル体上の曲線の円柱ファイブレーションの一般ファイバーにおいて、1次零サイクルの存在に対するブラウアー＝マニン障害が、唯一の障害であることを示す。

提案手法

• $ p $-進体の整数環または有限体上の関数体 $ K $ の正則モデル $ \mathscr{X} $ を用い、コホモロジー類の分岐の位置を制御する。
• 局所体上の二次形式の分解可能性を用いて、局所体上の四次曲面におけるパッチングと弱近似を用いてグローバル解を構成する。
• 分解可能な四次曲面の弱近似性質を応用し、$ \pi_i $ を法として局所解をグローバル解に持ち上げる。
• $ H^3_{nr}(K/\mathscr{X}, \mu_l) = 0 $ であることを用いて、局所解が存在するならばグローバル解が存在することを結論づける。
• $ H^1(F, \mu_l) \simeq F^*/F^{*l} $ の同型を用いて、カップ積条件を関数体内の乗法的類の観点から解釈する。
• 第一の残差および整域の理論を用いて、局所体上での二次形式 $ q_1 \perp \langle -g' \rangle $ の分解可能性に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体 $ F $ が有限体上の曲面の関数体であり、$ F $ が原始的 $ l $-乗根を含むとき、$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ のすべての元はシンボルに同値となるか？
• RQ2 固定されたシンボル $ \alpha \in H^2(F, \mu_l^{\tens 2}) $ と $ H^1(F, \mu_l) $ の類のカップ積として表されるという、$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ の類の表現に関する局所-大域原理は確立可能か？
• RQ3 正標数 $ \neq 2 $ の有限体上の曲面上の円柱ファイブレーションに対して、非分岐コホモロジー群 $ H^3_{nr}(K(C)/k, \mu_n^{\tens 2}) $ は消えるか？
• RQ4 正標数のグローバル体上の曲線の円柱ファイブレーションの一般ファイバーにおいて、1次零サイクルの存在に対するブラウアー＝マニン障害が、唯一の障害であるか？
• RQ5 カップ積に関する局所-大域原理は、有限体上の特定の3次元多様体 $ Y $ に対して、サイクル写像 $ CH^2(Y) \otimes \mathbb{Z}_l \to H^4(Y, \mathbb{Z}_l(2)) $ の全射性を示唆するか？

主な発見

• 関数体 $ F $ が有限体上の曲面の関数体であり、$ F $ が原始的 $ l $-乗根を含むとき、$ H^3(F, \mu_l^{\tens 3}) $ のすべての元がシンボルである。これは既知の $ l=2 $ の結果を拡張する。
• 有限体 $ k $ で標数 $ \neq 2 $ であるとき、$ X $ を $ k $ 上の滑らかな曲面とし、$ Y \to X $ を円柱ファイブレーションとする。このとき、$ H^3_{nr}(K(C)/k, \mu_n^{\tens 2}) $ は消える。
• 滑らかで射影的な3次元多様体 $ Y $ が、標数 $ \neq 2 $ の有限体上のルールド曲面上の円柱ファイブレーションであるとき、サイクル写像 $ CH^2(Y) \otimes \mathbb{Z}_l \to H^4(Y, \mathbb{Z}_l(2)) $ は全射である。
• 正標数のグローバル体上の曲線の円柱ファイブレーションの一般ファイバーにおいて、1次零サイクルの存在に対するブラウアー＝マニン障害が、唯一の障害である。これは適切な条件下で成り立つ。
• カップ積に関する局所-大域原理により、$ \zeta \in H^3(K, \mu_l^{\tens 3}) $ が局所的に固定されたシンボル $ \alpha \in H^2(K, \mu_l^{\tens 2}) $ と $ H^1(K, \mu_l) $ の類のカップ積として表されるならば、グローバルに対してもそう表される。
• 証明は、局所体上での特定の二次形式の分解可能性と、弱近似を用いた局所データからグローバル解を構成する手法に依存する。