[論文レビュー] Delocalized eta invariants, algebraicity, and $K$-theory of group $C^*$-algebras

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

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ひとこと要約

本稿は、Higson-Roeの高次rho不変量とLottの非局所エータ不変量の間の正確な$K$-理論的関係を、群$C^*$-代数に関して確立する。多項式成長を有する共役類に関連する標準的決定的写像$\tau_h$を構成することで、高次rho不変量の$\tau_h$による評価が、対応する非局所エータ不変量に一致することを証明する。主な結果として、 Baum-Connes予想が成り立つならば、Lottの非局所エータ不変量は代数的数であることが示される。

ABSTRACT

In this paper, we establish a precise connection between higher rho invariants and delocalized eta invariants. Given an element in a discrete group, if its conjugacy class has polynomial growth, then there is a natural trace map on the $K_0$-group of its group $C^\ast$-algebra. For each such trace map, we construct a determinant map on secondary higher invariants. We show that, under the evaluation of this determinant map, the image of a higher rho invariant is precisely the corresponding delocalized eta invariant of Lott. As a consequence, we show that if the Baum-Connes conjecture holds for a group, then Lott's delocalized eta invariants take values in algebraic numbers. We also generalize Lott's delocalized eta invariant to the case where the corresponding conjugacy class does not have polynomial growth, provided that the strong Novikov conjecture holds for the group.

研究の動機と目的

• 高次rho不変量と非局所エータ不変量を結ぶ概念的$K$-理論的枠組みを確立すること。
• 多項式成長を有する共役類$\langle h\rangle$に対して、$K_0(C_r^*(\Gamma))$上に標準的決定的写像$\tau_h$を定義すること。
• 高次rho不変量が$\tau_h$によって写される像が、対応する非局所エータ不変量に一致することを証明すること。
• strong Novikov予想を用いて、非多項式成長の共役類へと非局所エータ不変量を一般化すること。
• 有理数のBaum-Connes予想のもとで、非局所エータ不変量が代数的数であることを示すこと。

提案手法

• 多項式成長を有する共役類$\langle h\rangle$を用いて、$K_0(C_r^*(\Gamma))$上のトレース写像$\mathrm{tr}_h$を構成する。
• 二次不変量を評価するための$\mathrm{tr}_h$の強化として、決定的写像$\tau_h$を定義する。
• WangとWangの$L^2$-リーマン・ホッフマン固定点定理を用いて、$\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$を特徴的類に関連付ける。
• $L^2$-リーマン・ホッフマン公式を適用し、$\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$を$\hat{A}_\theta$および$\hat{A}_\pi$類を用いて表現する。
• 有理数のBaum-Connes予想を活用して、$\mathbb{Q}_\Gamma$における不変量の代数的性を導出する。
• strong Novikov予想のもとで、非多項式成長の共役類に対する非局所エータ不変量を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Higson-Roeの高次rho不変量とLottの非局所エータ不変量は、$K$-理論的レベルでどのように関係しているか？
• RQ2 非局所エータ不変量は、多項式成長を有する共役類を超えて一般化可能か？
• RQ3 非局所エータ不変量が代数的数となる条件は何か？
• RQ4 $K$-理論的決定的写像$\tau_h$は、一次不変量と二次不変量を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 非局所エータ不変量の代数的性は、Baum-Connes予想の反例を同定するために利用可能か？

主な発見

• 決定的写像$\tau_h$による高次rho不変量の評価は、ちょうど非局所エータ不変量に一致する：$\tau_h(\rho(\widetilde{D},\widetilde{g})) = -\frac{1}{2}\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D})$。
• 有理数のBaum-Connes予想が$\Gamma$に対して成り立つならば、$\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D})$は$\mathbb{Q}_\Gamma$に属する代数的数である。
• $h$が無限位数を有するとき、$\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D}) = 0$であり、既知の消滅結果と整合的である。
• $h$が有限位数を有するとき、$\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$は$\mathbb{Q}_\Gamma$に属する代数的数である。
• $L^2$-リーマン・ホッフマン固定点定理は成長仮定なしに成立し、$\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$の公式は$\hat{A}_\theta$および$\hat{A}_\pi$類を用いて表現される。
• 本稿は、非局所アティヤ＝パトディ＝サージェント指数定理の$K$-理論的証明を提供する。