[論文レビュー] Delooping totalization of a multiplicative operad

Victor Tourtchine|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、乗法的operadから導かれるコシンプリシャル空間の全空間化と、アソシエイティブ・operadから自身への導来準同型の二重ループ空間との間のホモトピー同値を確立する。bimoduleおよびoperadの圏における明示的なcofibrantモデルを用いて、抽象的なホモトピー論的技法に過度に依存せずに、幾何的かつホモトピー論的な証明を構築し、全空間化空間を2回デロープすることで、二重ループ空間構造を導出する。

ABSTRACT

The paper shows that under some conditions the totalization of a cosimplicial space obtained from a multiplicative operad is a double loop space of the space of derived morphisms from the associative operad to the operad itself.

研究の動機と目的

• 乗法的operadから導かれるコシンプリシャル空間の全空間化と、アソシエイティブ・operadから自身への導来準同型の二重ループ空間との間のホモトピー同値を確立すること。
• 高度なホモトピー論的技法に過度に依存せずに、全空間化空間のデロープを幾何的かつホモトピー論的に証明すること。
• ネストされた圏である弱bimodule、bimodule、およびoperadの圏において、アソシエイティブ・operadの明示的なcofibrantモデルを構築すること。
• 全空間化空間がoperad圏における導来準同型空間の二重ループ空間とホモトピー同値であることを示すこと。

提案手法

• 弱bimodule圏における$\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$-加群上のアソシエイティブ・operadのcofibrantモデル$\widetilde{\triangle}$を構築する。
• $\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$-加群上の$\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$のbimodule圏におけるcofibrantモデル$\widetilde{\square}$を構築する。
• $\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$-加群上の非-$\Sigma$ operad圏における$\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$のcofibrantモデル$\widetilde{\text{\textasciigrave}}$を構築する。
• 逐次的デロープステップを通じて、ホモトピー同値$\Omega^2 \operatorname{Operads}(\widetilde{\text{\textasciigrave}}, \mathcal{O}) \simeq \operatorname{Tot} \mathcal{O}(\bullet)$を確立する。
• 全空間化空間間の写像のファイバーごとの解析を用いて、ループ空間上の誘導写像がホモトピー同値であることを証明する。
• 半シコサイクル全空間化と完全全空間化の同値性を活用し、初期段階では退化を無視することで構成を単純化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的operadから導かれるコシンプリシャル空間の全空間化は、アソシエイティブ・operadから自身への導来準同型の二重ループ空間とホモトピー同値であるか？
• RQ2 全空間化空間の二重デロープは、高度なホモトピー論的道具に依存せずに、幾何的に構成可能か？
• RQ3 弱bimodule、bimodule、およびoperadの圏におけるアソシエイティブ・operadの明示的なcofibrantモデルは存在するか？
• RQ4 bimodule構造における細胞の包含が、全空間化空間のホモトピー型に与える影響は何か？
• RQ5 乗法的operadの全空間化と、operad圏における導来準同型空間との正確な関係は何か？

主な発見

• 乗法的operadの全空間化$\operatorname{Tot} \mathcal{O}(\bullet)$は、$\Omega^2 \widetilde{\operatorname{Operads}}(\mathcal{A}_{\text{ssoc}}, \mathcal{O})$とホモトピー同値である。
• cofibrantモデルを用いて、ホモトピー同値$\Omega^2 \operatorname{Operads}(\widetilde{\text{\textasciigrave}}, \mathcal{O}) \simeq \operatorname{Tot} \mathcal{O}(\bullet)$を明示的に構築した。
• $\widetilde{\triangle}$は、$\underset{\mathcal{A}_{\text{ssoc}}}{\operatorname{Wbimod}}$における$\mathcal{A}_{\text{ssoc}}$のcofibrantモデルであり、可縮で、cofibrantなコシンプリシャル空間であり、無限次元の$CW$-複体成分を持つ。
• $\tilde{\zeta}_{n,i}$は、全空間化とbimodule空間のループ空間間のファイバー上でホモトピー同値を誘導し、デロープを段階的に証明する。
• 構成は、$B\widetilde{\text{\textasciigrave}}_{n-1,i}$における自由な細胞付加に依存しており、bimoduleのファイバー解析における穿孔付きディスクの包含も重要である。
• DwyerとHessの以前の結果と整合するが、本稿の証明はより幾何的であり、ホモトピー論的道具への依存が少ない。