[論文レビュー] Demazure roots and spherical varieties: the example of horizontal SL(2)-actions

Kevin Langlois, Alexander Perepechko|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Demazureのルートという概念を導入することで、再帰的群 $G$ によるアフィン $G$-球面的多様体上の $\mathbb{G}_a$-作用を分類する。$G = \mathrm{SL}_2 \rtimes T$（トーラスとの半直積）の場合、Demazureのルート集合は $\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{X}(G)$ 内の有限個の多面体の共通部分と、特性格子 $\mathbb{X}(G)$ の部分格子の共通部分として完全に組み合わせ的に記述され、すべてのアフィン球面的多様体に一般化可能であると予想している。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected reductive group, and let $X$ be an affine $G$-spherical variety. We show that the classification of $\mathbb{G}_{a}$-actions on $X$ normalized by $G$ can be reduced to the description of quasi-affine homogeneous spaces under the action of a semi-direct product $\mathbb{G}_{a} times G$ with the following property. The induced $G$-action is spherical and the complement of the open orbit is either empty or a $G$-orbit of codimension one. These homogeneous spaces are parametrized by a subset ${ m Rt}(X)$ of the character lattice $\mathbb{X}(G)$ of $G$, which we call the set of Demazure roots of $X$. We give a complete description of the set ${ m Rt}(X)$ when $G$ is a semi-direct product of ${ m SL}_{2}$ and an algebraic torus; we show particularly that ${ m Rt}(X)$ can be obtained explicitly as the intersection of a finite union of polyhedra in $\mathbb{Q}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{X}(G)$ and a sublattice of $\mathbb{X}(G)$. We conjecture that ${ m Rt}(X)$ can be described in a similar combinatorial way for an arbitrary affine spherical variety $X$.

研究の動機と目的

• 再帰的群 $G$ によるアフィン $G$-球面的多様体上の $\mathbb{G}_a$-作用を、組み合わせ的不変量を用いて分類すること。
• このような正規化された $\mathbb{G}_a$-作用をパrametrizeするDemazureのルート集合 $\mathrm{Rt}(X)$ を定義し、研究すること。
• $G = \mathrm{SL}_2 \rtimes T$ の場合に、多面体的除法と格子の交差を用いて $\mathrm{Rt}(X)$ の完全な組み合わせ的記述を提供すること。
• この組み合わせ的記述が、すべてのアフィン球面的多様体に一般化可能であると予想すること。

提案手法

• Luna–Vust理論と色付きファンを用いて、$G$-球面的多様体を組み合わせ的データで記述する。
• 多面体的除法理論を用いて、トーラス $\mathbb{T}$ による複雑性1のアフィン $\mathbb{T}$-多様体をモデル化する。
• 正規化された $\mathbb{G}_a$-作用を、特定の軌道構造を持つ準アフィン同次空間上の同次的 $\mathbb{G}_a \rtimes G$-作用と同一視する。
• $G = \mathrm{SL}_2 \rtimes T$ の場合、$\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{X}(G)$ 内の多面体の交わりと $\mathbb{X}(G)$ の部分格子の交わりによってDemazureのルートを特徴付ける。
• 作用が開 $G$-軌道を保存するかどうかに基づき、内部および外部のDemazureのルートを区別する。
• $\rho(e) = \rho_-(\theta) = \rho_+(\theta) = 0$ という条件を用いて正規化を検証し、ルートを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン $G$-球面的多様体 $X$ 上の $G$ で正規化された $\mathbb{G}_a$-作用を、どのように組み合わせ的に分類できるか？
• RQ2 $G = \mathrm{SL}_2 \rtimes T$ の場合、Demazureのルート集合 $\mathrm{Rt}(X)$ の構造は何か？
• RQ3 $X$ のDemazureのルートが、$\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{X}(G)$ 内の有限個の多面体の共通部分と $\mathbb{X}(G)$ の部分格子の共通部分として記述できるか？
• RQ4 内部Demazureのルート集合 $\mathrm{Rt}_{\mathrm{int}}(X)$ が空でないための条件は何か？
• RQ5 組み合わせ的記述 $\mathrm{Rt}(X)$ は、すべてのアフィン球面的多様体に一般化可能か？

主な発見

• $G = \mathrm{SL}_2 \rtimes T$ の場合、Demazureのルート集合 $\mathrm{Rt}(X)$ は $\mathrm{Rt}(X) = \mathrm{Rt}_{\mathrm{ext}}(X) \cup \mathrm{Rt}_{\mathrm{int}}(X)$ と表され、両方の成分が組み合わせ的に記述される。
• 外部Demazureのルートは、$\theta \in \mathrm{Rt}(\Gamma) \cap L$ で $\rho_\theta \in \mathrm{lin}(\mathcal{V})$ かつ $\theta \in \eta(\mathcal{F}_0)^\perp$ を満たすものとして特徴付けられる。ここで $\Gamma = \mathrm{Cone}(\mathcal{C} \cup \eta(\mathcal{F}_0))$ である。
• 内部Demazureのルートは、$H$ が $\mathrm{SL}_2$ の最大トーラスを含まないトーラスである場合にのみ非空であり、このとき $\mathrm{Rt}_{\mathrm{int}}(X) = \{\theta \in \mathrm{Rt}(\Gamma) \cap L \mid \rho_\theta \in \mathrm{lin}(\mathcal{V}), \{\eta(D_1)(\theta), \eta(D_2)(\theta)\} = \{-1, 1\} \}$ である。
• $G = \mathrm{SL}_2 \rtimes T$ の場合、集合 $\mathrm{Rt}(X)$ は $\mathbb{Q} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{X}(G)$ 内の有限個の多面体の共通部分と、$\mathbb{X}(G)$ の部分格子の共通部分として明示的に記述される。
• 正規化された $\mathbb{G}_a$-作用は、同値関係を除いて、そのDemazureのルートによって一意に決定され、このような作用は、余次元1の補集合または空の補集合を持つ準アフィン空間上の同次的 $\mathbb{G}_a \rtimes G$-作用に対応する。
• この結果は、$G_e = \mathrm{SL}_2 \rtimes T$ の場合に質問5.10に対する肯定的解答を確認しており、すべてのアフィン球面的多様体に一般化可能であるというより広い予想を支持する。