[論文レビュー] The Gromov-Winkelmann theorem for flexible varieties

Hubert Flenner, Shulim Kaliman+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元が2以上の柔軟な準アフィン多様体 $X$ と、そのコ dimension が2以上の閉部分多様体 $Y \subset X$ に対して、$\operatorname{SAut}(X)$ 内の $Y$ の点ごとの安定化部分群が、$X \setminus Y$ 上に無限に推移的に作用することを確立する。この結果は、$\mathbb{A}^n$ における Gromov–Winkelmann の定理を一般化し、コ dimension $\geq 2$ の部分多様体の補集合上でも、柔軟性と無限推移性が保たれることを示している。

ABSTRACT

An affine variety $X$ of dimension $\ge 2$ is called {\em flexible} if its special automorphism group SAut$(X)$ acts transitively on the smooth locus $X_{reg}$ \cite{AKZ}. Recall that the special automorphism group SAut$(X)$ is the subgroup of the automorphism group Aut$(X)$ generated by all one-parameter unipotent subgroups \cite{AKZ}. Given a normal, flexible, affine variety $X$ and a closed subvariety $Y$ in $X$ of codimension at least 2, we show that the pointwise stabilizer subgroup of $Y$ in the group SAut$(X)$ acts infinitely transitively on the complement $X\backslash Y$, that is, $m$-transitively for any $m\ge 1$. More generally we show such a result for any quasi-affine variety $X$ and codimension $\ge 2$ subset $Y$ of $X$. In the particular case of $X=Å^n$, $n\ge 2$, this yields a Theorem of Gromov and Winkelmann \cite{Gr1}, \cite{Wi}.

研究の動機と目的

• アフィン空間における Gromov–Winkelmann の定理の無限推移性に関する結果を、一般の柔軟な準アフィン多様体へ拡張すること。
• コ dimension ≥2 の部分多様体 $Y$ に対して、$\operatorname{SAut}(X)$ 内の $Y$ の点ごとの安定化部分群が $X \setminus Y$ 上に無限に推移的に作用することを証明すること。
• コ dimension ≥2 の部分多様体を除いたとき、$X$ の柔軟性が $X \setminus Y$ においても保たれることを確立すること。
• 柔軟な多様体の開部分集合における自己同型群作用の無限推移性を一般化する枠組みを提供すること。
• 文献 [AFKKZ, 4.22(2)] で提起された、このような補集合上における安定化部分群の推移性に関する問題を解決すること。

提案手法

• 局所冪零微分作用素（LND）およびそれらに付随する1パラメータ単心部分群を用いて群作用を生成すること。
• 2つのLNDとその重み付き再現を生成する部分群 $H = \langle\!\langle \delta_0, \delta_1 \rangle\!\rangle$ を構成し、開軌道を達成すること。
• $\mathbb{G}_a$-作用における不変関数を用いた部分商 $Q_U = \operatorname{Spec} B$ を用いて、軌道構造を分析すること。
• Rosenlicht の定理を応用し、有限個の不変量を用いて一般軌道を分離すること。
• 接ベクトルを一致させるための jet 代入と $\operatorname{SL}(T_xX)$ を用いた群作用の共軌道化。
• 開軌道を有するLNDの集合 $\mathcal{N}$ が共軌道作用に関して飽和していることを利用し、群構造を保つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 柔軟な $X$ に対して、$\operatorname{SAut}(X)$ 内の $Y$ の点ごとの安定化部分群 $\operatorname{SAut}_Y(X)$ は、$X \setminus Y$ 上に無限に推移的に作用するか？
• RQ2 アフィン空間 $\mathbb{A}^n$ における Gromov–Winkelmann の定理は、任意の柔軟な準アフィン多様体へ、アフィン空間を超えて一般化可能か？
• RQ3 コ dimension ≥2 の部分多様体 $Y$ を除いたとき、$X$ の柔軟性は保たれるか？
• RQ4 2つのLNDが、柔軟な多様体内で開軌道を有する部分群を生成できる条件は何か？
• RQ5 部分商と不変量による軌道分離は、$Y$ の補集合における開軌道の構成にどのように寄与するか？

主な発見

• 任意の正規で柔軟な準アフィン多様体 $X$ と、コ dimension ≥2 の閉部分多様体 $Y$ に対して、点ごとの安定化部分群 $\operatorname{SAut}_Y(X)$ は $X \setminus Y$ 上に無限に推移的に作用する。
• 特に $X = \mathbb{A}^n$（$n \geq 2$）の場合、Gromov–Winkelmann の定理が回復され、$\operatorname{SAut}_Y(X)$ が $\mathbb{A}^n \setminus Y$ 上に無限推移的であることが確認される。
• 2つのLNDとその重み付き再現から生成される部分群 $H = \langle\!\langle \delta_0, \delta_1 \rangle\!\rangle$ は、$\ker \delta_0 \neq \ker \delta_1$ ならば $X$ 内で開軌道を持つ。
• このようなLNDのペアの存在により、一般点における接空間がそれらの軌道方向で張られ、$H$-軌道が柔軟であることが示唆される。
• この構成は、複数の点における接ベクトルを一致させるために、自己同型による $\mathbb{G}_a$-作用の共軌道化に依存しており、補集合全体にわたる推移性を可能にする。
• 結果は最適である：[AFKKZ, Proposition 4.13] で示される反例により、コ dimension 1 の部分多様体ではこの性質は成立しない。