[論文レビュー] Dendroidal Segal spaces and infinity-operads

Denis-Charles Cisinski, Ieke Moerdijk|Radboud Repository (Radboud University)|Oct 24, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、∞-operadsのホモトピー的モデルとして、dendroidal Segal spacesおよびSegal operadsを導入し、完全なdendroidal Segal spaces、Segal operads、および∞-operadsのモデル圏の間でQuillen同値を確立する。Rezkの完全なSegal空間とJoyalの準カテゴリの理論を、木のSegalコアを用いて、operad的設定に一般化することで、高次の代数的構造のさまざまなホモトピー的モデルを統一する。

ABSTRACT

We introduce the dendroidal analogs of the notions of complete Segal space and of Segal category, and construct two appropriate model categories for which each of these notions corresponds to the property of being fibrant. We prove that these two model categories are Quillen equivalent to each other, and to the monoidal model category for infinity-operads which we constructed in an earlier paper. By slicing over the monoidal unit objects in these model categories, we derive as immediate corollaries the known comparison results between Joyal's quasi-categories, Rezk's complete Segal spaces, and Segal categories.

研究の動機と目的

• dendroidal集合を用いて、完全なSegal空間および準カテゴリの理論を、operad的設定へと拡張すること。
• dendroidal Segal spacesおよび完全なdendroidal Segal spacesを定義し、それらを∞-operadsのモデルとして研究すること。
• ∞-operads、Segal operads、完全なdendroidal Segal spacesのモデル圏の間でQuillen同値を確立すること。
• 単位元ηを基点としてスライスすることにより、古典的な準カテゴリおよび完全なSegal空間の結果を回復すること。
• dendroidalアプローチを通じて、高次の代数的構造のさまざまなモデルを統合する枠組みを提供すること。

提案手法

• 単体の1次スケルトンの一般化として、木のSegalコアを導入し、dendroidal集合におけるSegal条件を定義する。
• fibrant対象がSegalコアに基づくSegal条件を満たすように、sSet-値dendroidal集合（sdSet）にモデル圏構造を構成する。
• Rezkの完全性条件と同様の完全性条件を追加することで、完全なdendroidal Segal空間を定義する。
• 完全なdendroidal Segal空間のモデル圏と、以前の研究で構築された∞-operadsのモデル圏との間で、Quillen同値を確立する。
• Segal前-operadおよびSegal operadを、sdSetの部分カテゴリにおけるfibrant対象として定義し、完全なdendroidal Segal空間への左Quillen関手を構成する。
• 関手γ*およびγ*を用いて、Segal operadsと完全なdendroidal Segal空間を関連付け、γ*が左Quillen同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なSegal空間の概念を、カテゴリからdendroidal集合を用いたoperadsへ一般化する方法は何か？
• RQ2 ∞-operadsをモデル化するdendroidal空間に適したSegal条件とは何か？
• RQ3 ∞-operads、Segal operads、完全なdendroidal Segal空間のホモトピー理論の関係は何か？
• RQ4 古典的なQuillen同値（準カテゴリ、Segal圏、完全なSegal空間の間）は、より一般化されたdendroidal枠組みから回復可能か？
• RQ5 木のSegalコアは、dendroidal Segal空間のホモトピー的構造を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 完全なdendroidal Segal空間のモデル圏は、以前の研究で構築された∞-operadsのモデル圏とQuillen同値である。
• Segal operadsのモデル圏は、左Quillen関手γ*を介して、完全なdendroidal Segal空間のモデル圏とQuillen同値である。
• 関手K: ∞-Operad → sdSetは、∞-operadsを完全なdendroidal Segal空間へ写像し、γ*KはSegal operadのモデル構造におけるfibrant置換を提供する。
• 単位元ηを基点としてスライスすることにより、Joyalの準カテゴリおよびRezkの完全なSegal空間が回復され、dendroidal枠組みがこれらの古典的モデルを統合していることが示された。
• Segalコア構成により、∞-operads間の弱同値が、本質的に全射的かつ完全に忠実な写像として正確に特徴付けられる。
• dendroidal集合からSegal前-operadsへの包含は左Quillen同値であり、dendroidal集合がSegal前-operadsのフル部分カテゴリであり、ホモトピー理論が同値であることが示された。