[論文レビュー] Denominator Bounds for Systems of Recurrence Equations using $ΠΣ$-Extensions

Johannes Middeke, Carsten Schneider|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ΠΣ-拡張における線形漸化式系の分母の上限を計算するためのアルゴリズムを提示し、有理関数解の同定を多項式解の計算に還元することを可能にする。主な貢献は、すべての解の分母を割り切る普遍的な分母を体系的に決定する方法であり、記号的総和計算および特殊関数論における結合された漸化式系を解く上で極めて重要である。

ABSTRACT

We consider linear systems of recurrence equations whose coefficients are given in terms of indefinite nested sums and products covering, e.g., the harmonic numbers, hypergeometric products, $q$-hypergeometric products or their mixed versions. These linear systems are formulated in the setting of $ΠΣ$-extensions and our goal is to find a denominator bound (also known as universal denominator) for the solutions; i.e., a non-zero polynomial $d$ such that the denominator of every solution of the system divides $d$. This is the first step in computing all rational solutions of such a rather general recurrence system. Once the denominator bound is known, the problem of solving for rational solutions is reduced to the problem of solving for polynomial solutions.

研究の動機と目的

• ΠΣ-拡張における線形漸化式系の普遍的分母上限を計算するためのアルゴリズムの開発。
• 分母上限を通じて有理関数解の問題を多項式解の問題に変換することの実現。
• 高価な分離処理を回避しつつ、結合された漸化式系を直接解くことの支援。
• スカラー型漸化式に対する既存の手法を、ネストされた和および積を含む一般の結合系へと拡張すること。
• 記号的総和におけるd’Alembertian解およびLiouvillian解を計算する基盤の提供。

提案手法

• 係数体にネストされた和および積（例：調和数や超幾何項）を含む状況をモデル化するためにΠΣ-拡張を用いる。
• σによる体拡張のシフト挙動を分析することで、周期的でない分母上限 d ∈ ℱ[t] を計算する。
• σ(t) = t + β（和型）の場合、上限 d は完全である。σ(t) = αt（積型）の場合、十分大きな m に対して t^m d が完全な上限となる。
• y = y'/d と置換することで、問題を ℱ[t]^n 内の多項式解 y' を求める問題に還元する。
• 多項式解の探索空間を制限するために、b ∈ ℕ における次数の上限を仮定し、定数体上の線形代数問題に帰着させる。
• 部分体への再帰的適用により、ネストされたΠΣ-拡張における系を、定数体に至るまで降下することで解くことができる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合された線形漸化式系のΠΣ-拡張における普遍的分母上限は、どのように計算できるか？
• RQ2 シフト挙動（σ(t) = t+β または σ(t) = αt）は、分母上限の完全性を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 高価な分離処理を回避しつつ、有理関数解の計算を可能にするか？
• RQ4 多項式解の探索が計算的に実行可能であることを保証する戦略は何か？
• RQ5 ネストされたΠΣ-拡張に対して、この方法を再帰的に適用し、定数体に到達するにはどうすればよいか？

主な発見

• 本稿では、ℱ[t] 内に分母上限 d をアルゴリズム的に計算可能であることが確立された。その前提は、ℱ[t] において分散（dispersion）が計算可能であることである。
• 和型変数（σ(t) = t + β）の場合、計算された d は完全な分母上限である。
• 積型変数（σ(t) = αt）の場合、十分大きな m に対して t^m d が完全な分母上限となるが、一般には m がアルゴリズム的に決定されていない。
• この方法により、有理関数解の同定問題が多項式解を求める問題に還元され、記号計算に適した形になる。
• この手法は、記号的総和や素粒子物理学に現れる結合された漸化式系におけるd’Alembertian解およびLiouvillian解の計算を支援する。
• この手法は再帰的であり、部分体を介して降下することで、ネストされたΠΣ-拡張に適用可能であり、最終的に定数体に到達し、線形代数で最終的な系が解かれる。