[論文レビュー] Summation Theory II: Characterizations of $\boldsymbol{R\Pi\Sigma^*}$-extensions and algorithmic aspects

Carsten Schneider|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 38被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、ネストされた和、積、単位根を扱える記号的和分のための代数的構造である RΠΣ∗-拡張の新しい特徴付けを提供する。これは、それらの単純性、相互にねじれ構造、および数列環への埋め込み可能性を結びつけるものであり、定数安定な係数体の下でこれらの性質が同値であることを確立する。これにより、ネストされた和の代数的独立性のアルゴリズム的検証およびパrameterized telescoping 問題の効率的解法が可能になる。

ABSTRACT

Recently, $R\Pi\Sigma^*$-extensions have been introduced which extend Karr's $\Pi\Sigma^*$-fields substantially: one can represent expressions not only in terms of transcendental sums and products, but one can work also with products over primitive roots of unity. Since one can solve the parameterized telescoping problem in such rings, covering as special cases the summation paradigms of telescoping and creative telescoping, one obtains a rather flexible toolbox for symbolic summation. This article is the continuation of this work. Inspired by Singer's Galois theory of difference equations we will work out several alternative characterizations of $R\Pi\Sigma^*$-extensions: adjoining naively sums and products leads to an $R\Pi\Sigma^*$-extension iff the obtained difference ring is simple iff the ring can be embedded into the ring of sequences iff the ring can be given by the interlacing of $\Pi\Sigma^*$-extensions. From the viewpoint of applications this leads to a fully automatic machinery to represent indefinite nested sums and products in such $R\Pi\Sigma^*$-rings. In addition, we work out how the parameterized telescoping paradigm can be used to prove algebraic independence of indefinite nested sums. Furthermore, one obtains an alternative reduction tactic to solve the parameterized telescoping problem in basic $R\Pi\Sigma^*$-extensions exploiting the interlacing property.

研究の動機と目的

• RΠΣ∗-拡張の基本的構造を、元の定義を越えて、内在的かつアルゴリズム的に検証可能な特徴付けを提供すること。
• RΠΣ∗-拡張の構造的性質を差分方程式のガロア理論の概念と統合すること。
• RΠΣ∗-拡張を数列環へ埋め込むための構成的かつ完全自動の手法を開発すること。
• パrameterized telescoping 解の存在しないことを利用して、不定的なネストされた和の代数的独立性を証明すること。
• Sigma などのコンピュータ代数システムにおける記号的和分のアルゴリズム的ツールキットを拡張すること。

提案手法

• 差分環の単純性による RΠΣ∗-拡張の特徴付け：任意の σ-安定イデアルが自明であること。
• RΠΣ∗-拡張と ΠΣ∗-拡張のねじれ構造との同型を確立し、構造的分解を可能にする。
• 数列環 S(K) への K-埋め込み τ: E → S(K) を用いて、要素を数列として表現する。
• パrameterized telescoping 問題をモデル化するための Σ∗-拡張 H = E[s₁,…,s_d] を構成し、σ(s_i) = s_i + σ(f_i) を満たす。
• 数列埋め込みと多項式環の構造を活用して、和の数列の代数的独立性をテストする。
• o-関数と評価写像を用いた埋め込みの反復的拡張により、代数的関係を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的拡張、積の拡張、和の拡張からなる塔 APS-拡張が、基本的 RΠΣ∗-拡張であるための条件は何か？
• RQ2 差分環 E が単純であるとは、すなわち σ-安定イデアルが自明なものしか持たないとは、どのような条件で成立するか？
• RQ3 RΠΣ∗-拡張が数列環へ埋め込めるのはいつか？ そして、これにより表現や簡約にどのような意味が生じるか？
• RQ4 パrameterized telescoping 解の存在しないことを利用して、ネストされた和の代数的独立性をどのように証明できるか？
• RQ5 ΠΣ∗-拡張のねじれ構造は、標準的な RΠΣ∗-拡張構成の構造的代替手段として機能できるか？

主な発見

• 基本的 RΠΣ∗-拡張は、単純な差分環と同値である：任意の σ-安定イデアルは自明である。
• RΠΣ∗-拡張は、ΠΣ∗-拡張のねじれ積と同型であり、構造的分解が可能である。
• 環 E が数列環へ埋め込めるのは、係数体 F が同様に埋め込めるとき、かつそのときのみである。
• τ(E) 上での数列 ⟨S₁(n)⟩, ..., ⟨S_d(n)⟩ の代数的独立性は、方程式 (6.2) の解の存在しないことと同値である。
• E 内で telescoping 解が存在しないことは、対応するネストされた和が定数体 K 上で代数的独立であることを意味する。
• 本手法は完全にアルゴリズム的であり、Sigma パッケージに実装済みであり、ネストされた和の表現をコンactかつ代数的独立に可能にする。