[論文レビュー] Dense sets of integers with prescribed representation functions

Javier Cilleruelo, Melvyn B. Nathanson|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の整数値関数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $ で $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ を満たすものについて、$ B_h[g] $ 列にスパarsな補助列を追加することによって構成される集合 $ \mathcal{A} \subset \mathbb{Z} $ の $ h $ 重表現関数 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ として実現可能であることを確立する。主な結果は、このような $ \mathcal{A} $ が $ \mathcal{A}(x) \gg \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $ とまで密度を達成できることであり、ここで $ \mathcal{B} $ は $ B_h[g] $ 列で $ \epsilon(x) \to 0 $ である。これにより、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ が得られ、これは $ B_h[g] $ 列の既知の最高密度と一致する。

ABSTRACT

Let A be a set of integers and let h \geq 2. For every integer n, let r_{A, h}(n) denote the number of representations of n in the form n=a_1+...+a_h, where a_1,...,a_h belong to the set A, and a_1\leq ... \leq a_h. The function r_{A,h} from the integers Z to the nonnegative integers N_0 U {\infty} is called the representation function of order h for the set A. We prove that every function f from Z to N_0 U {\infty} satisfying liminf_{|n|->\infty} f (n)\geq g is the representation function of order h for some sequence A of integers, and that A can be constructed so that it increases "almost" as slowly as any given B_h[g] sequence. In particular, for every epsilon >0 and g \geq g(h,epsilon), we can construct a sequence A satisfying r_{A,h}=f and A(x)\gg x^{(1/h)-epsilon}.

研究の動機と目的

• 指定された関数 $ f(n) $ に対して $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ を満たす整数集合 $ \mathcal{A} $ の $ h $ 重表現関数 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ が与えられたとき、そのような集合の最大密度を特定すること。
• 表現関数問題と高密度の $ B_h[g] $ 列の構成との間の関係を確立すること。$ B_h[g] $ 列は高密度で構成することが難しいことが知られている。
• 任意のこのような関数 $ f $ が、$ \mathcal{B} $ を $ B_h[g] $ 列とし、$ \epsilon(x) \to 0 $ であるとき、$ \mathcal{A}(x) $ が $ \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $ の速度で成長する集合 $ \mathcal{A} $ を用いて実現可能であることを示すこと。
• Nathanson の以前の評価 $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/(2h-1)} $ を改善し、任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ を達成することで、$ B_h[g] $ 列の既知の最高下界と一致する。

提案手法

• 構成は、与えられた $ B_h[g] $ 列 $ \mathcal{B} $ から始める。これにより初期の表現数が $ g $ 以下に保証される。
• スパarsな補助列 $ \mathcal{U} = \{u_k\} $ を段階的に $ \mathcal{B} $ に加える。要素は、特定のターゲット値 $ z_k $ において、$ f(z_k) > r_{\mathcal{A}_{k-1},h}(z_k) $ となるように選ぶ。
• 列 $ \mathcal{U} $ は、$ \mathcal{B} $ の要素を新しい集合に写像する制御された密度とスパarsネスを持つ Zeros Inserting Transformation $ T_\gamma^r $ を用いて構築する。
• 新しい表現（$ u_{2k-1}, u_{2k} $ を含むもの）が既存の表現に干渉しないように保つことで表現関数を維持する。これは、和の項数 $ h-s-t $ に基づく再帰的議論により行う。
• 変換パラメータ $ \gamma $ を適切に選ぶことで、$ 2^{-2r\gamma^{-1}(\log_2 x)} \geq \epsilon(x) $ を満たすようにし、最終的な集合 $ \mathcal{A} $ の密度が $ \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $ 以上であることを保証する。
• 証明は段階 $ k $ における帰納法で行われ、各ステップですべての $ n $ に対して $ r_{\mathcal{A}_k,h}(n) \leq f(n) $ が成り立ち、必要に応じて $ r_{\mathcal{A}_k,h}(z_k) $ が $ f(z_k) $ に増加することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の関数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $ で $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ を満たすものについて、ある整数集合 $ \mathcal{A} $ の $ h $ 重表現関数として実現可能か？
• RQ2 与えられた $ f $ に対して、そのような集合 $ \mathcal{A} $ の最大密度（計数関数 $ \mathcal{A}(x) $ の観点から）は何か？
• RQ3 集合 $ \mathcal{A} $ の密度は、基盤として用いられる $ B_h[g] $ 列の密度とどのように関係するか？
• RQ4 この構成により、理論的下界 $ x^{1/h - \varepsilon} $ に近い密度を達成できるか？これは既知の $ B_h[g] $ 列の下界と一致するか？

主な発見

• 任意の関数 $ f: \mathbb{Z} \to \mathbf{N} $ で $ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ を満たすものについて、ある整数集合 $ \mathcal{A} $ の $ h $ 重表現関数 $ r_{\mathcal{A},h}(n) $ として実現可能である。
• 集合 $ \mathcal{A} $ は、$ \mathcal{B} $ を $ B_h[g] $ 列とし、$ \epsilon(x) \to 0 $ であるとき、計数関数が $ \mathcal{A}(x) \gg \mathcal{B}(x\epsilon(x)) $ を満たすように構成可能である。
• 任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ g = g(h, \varepsilon) $ が存在し、$ \liminf_{|n|\to\infty} f(n) \geq g $ を満たす任意の $ f $ に対して、集合 $ \mathcal{A} $ は $ \mathcal{A}(x) \gg x^{1/h - \varepsilon} $ を満たす。
• この構成は、$ B_h[g] $ 列の既知の最高下界と一致する。これは Vu (2000) によって示された。
• $ h = 2 $ の場合、結果は Nathanson の評価を回復・改善し、$ \mathcal{A}(x) \gg x^{\sqrt{2}-1+o(1)} $ を達成する。これは Sidon 集合の Ruzsa の構成と一致する。
• この手法は、近似的に最適な密度を持つ任意の表現関数を実現する一般枠組みを提供し、[1] および [10] で提起された未解決問題を解決する。