[論文レビュー] Dense sets of joint distributions appearing in filtration enlargements, stochastic control, and causal optimal transport

Daniel Lacker|arXiv (Cornell University)|May 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、確率論における古典的近似結果の動的類似形を確立し、非原子性および適合性の条件のもとで、確率過程 $(X,Y)$ が、$X'$ が $Y$ が生成するフィルトレーションに適合するような $(X',Y)$ に法則的に近似可能であることを示している。主な貢献は、確率的制御および因果的最適輸送における緩和を可能にするパスワイズ近似フレームワークの構築である。

ABSTRACT

It is well known that any pair of random variables $(X,Y)$ with values in Polish spaces, provided that $Y$ is nonatomic, can be approximated in joint law by random variables of the form $(X',Y)$ where $X'$ is $Y$-measurable. This article surveys and extends some recent dynamic analogues of this result. For example, if $X$ and $Y$ are stochastic processes in discrete or continuous time, then, under a nonatomic assumption as well as a necessary and sufficient compatibility condition, one can approximate $(X,Y)$ in law in path space by processes of the form $(X',Y)$, where $X'$ is adapted to the filtration generated by $Y$. A similar approximation is valid for randomized stopping times. Natural applications include relaxations of (mean field) stochastic control and causal optimal transport problems as well as new characterizations of the immersion property for progressively enlarged filtrations.

研究の動機と目的

• 連続時間の確率過程における動的およびパスワイズ的制約のもとで、古典的連合分布近似結果を拡張すること。
• フィルトレーション適合性による因果性を課すことによって、確率的制御および最適輸送における非マルコフ連関の近似の課題に対処すること。
• 平均場確率的制御および因果的最適輸送問題における因果的制約の緩和の理論的基盤を提供すること。
• $\mathcal{F}^Y_t$ に適合する $X'$ の存在を保証する必要十分な適合性条件を用いて、進行的拡大フィルトレーションにおける埋め込み性の性質を近似技術を通じて特徴付けること。
• パスワイズ近似を用いて、確率的停止時刻およびフィルトレーション拡大に関する既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• プロセス $Y$ に対する非原子性仮定を用いて、近似に十分なランダムネスを保証する。
• $X$ と $Y$ 間の必要十分な適合性条件を適用し、$\mathcal{F}^Y_t$ に適合する近似可能 $X'$ の存在を保証する。
• パス空間上の弱収束を用いて、$(X,Y)$ の連合分布を $X'$ が $\mathcal{F}^Y$-適応であるような $(X',Y)$ で近似する。
• ランダム化された停止時刻の文脈においても、このフレームワークを拡張し、オプション型時刻の文脈でも同様の近似性質が成り立つことを示す。
• 進行的フィルトレーション拡大の構造を活用して、埋め込み性の特徴づけを導出する。
• 近似フレームワークを最適輸送および確率的制御における因果的制約の緩和に応用し、$X'$ が $Y$-可測であることを許容する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プロセスの対 $(X,Y)$ が、$X'$ が $\mathcal{F}^Y$ に適合するような $(X',Y)$ に法則的に近似可能となる条件は何か？
• RQ2 $X$ と $Y$ 間の適合性条件が、このような近似の実現可能性および品質にどのように影響を与えるか？
• RQ3 この近似フレームワークは、フィルトレーション拡大の文脈における確率的停止時刻へ拡張可能か？
• RQ4 この近似の結果が、平均場確率的制御における因果的制約の緩和に与える影響は何か？
• RQ5 このアプローチは、進行的拡大フィルトレーションにおける埋め込み性の性質に対して、どのように新しい特徴づけを提供するか？

主な発見

• 非原子性仮定および必要十分な適合性条件のもとで、$(X,Y)$ の連合分布は、$X'$ が $\mathcal{F}^Y$ に適合するような $(X',Y)$ でパス空間上で近似可能である。
• 近似フレームワークにより、$X'$ が $Y$-可測であることを許容することで、平均場確率的制御における因果的制約の緩和が可能になる。
• この方法により、パスワイズ近似を通じて、進行的拡大フィルトレーションにおける埋め込み性の性質に対する新たな特徴づけが得られる。
• 結果は、ランダム化された停止時刻に対しても拡張可能であり、類似の条件下で、このような時刻に対しても法則的近似が成り立つ。
• このフレームワークは、既存のフィルトレーション拡大、確率的制御、因果的最適輸送に関する結果を統一的かつ一般化する。
• 近似は、パス空間上の法則の弱収束の意味で「稠密」であり、連続時間モデルへの広範な適用可能性を保証する。