[論文レビュー] Derivation of a generalized Schr\\"odinger equation for dark matter halos from the theory of scale relativity

Pierre-Henri Chavanis|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 186被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、ノタールのスケール相対性理論を用いて、ダークマター銀河団の一般化されたシュレーディンガー方程式を導出する。非線形性として対数項と、時空のフラクタル構造に起因する減衰項を導入し、超軽量粒子を必要とせずに、コア-ハロー構造、平坦な回転曲線、およびキューブ問題を説明する。主要係数 𝒟 = 1.02×10²³ m²/s は観測された銀河団の性質と一致する。

ABSTRACT

Using Nottale's theory of scale relativity, we derive a generalized Schr\\"odinger equation applying to dark matter halos. This equation involves a logarithmic nonlinearity associated with an effective temperature and a source of dissipation. Fundamentally, this wave equation arises from the nondifferentiability of the trajectories of the dark matter particles whose origin may be due to ordinary quantum mechanics, classical ergodic (or almost ergodic) chaos, or to the fractal nature of spacetime at the cosmic scale. The generalized Schr\\"odinger equation involves a coefficient ${\\cal D}$, possibly different from $\\hbar/2m$, whose value for dark matter halos is ${\\cal D}=1.02\ imes 10^{23}\\, {\ m m^2/s}$. We suggest that the cold dark matter crisis may be solved by the fractal (nondifferentiable) structure of spacetime at the cosmic scale, or by the chaotic motion of the particles on a very long timescale, instead of ordinary quantum mechanics. The equilibrium states of the generalized Schr\\"odinger equation correspond to configurations with a core-halo structure. The quantumlike potential generates a solitonic core that solves the cusp problem of the classical cold dark matter model. The logarithmic nonlinearity accounts for the presence of an isothermal halo that leads to flat rotation curves. The damping term ensures that the system relaxes towards an equilibrium state. This property is guaranteed by an $H$-theorem satisfied by a Boltzmann-like free energy functional. In our approach, the temperature and the friction arise from a single formalism. They correspond to the real and imaginary parts of the complex friction coefficient present in the scale covariant equation of dynamics that is at the basis of Nottale's theory of scale relativity.

研究の動機と目的

• コールドダークマター（CDM）モデルの小スケール問題、たとえばキューブ-コア問題や欠落した衛星を解決するため、ダークマターに量子的波動方程式を導入すること。
• 宇宙スケールにおける時空のフラクタル的・微分不可能な性質が、ダークマター粒子に有効な量子的挙動を生じさせることを示すこと。
• 対数非線形項と散逸項を含む一般化されたシュレーディンガー方程式を導出し、等温ハローとソリトン的コアを含む観測された銀河団の性質を再現すること。
• 理論から導かれた有効係数 𝒟 = 1.02×10²³ m²/s が、超軽量ダークマター粒子を仮定せず、観測的制約と一致することを示すこと。
• ボルツマン型自由エネルギー関数を用いたH定理を通じて熱力学的類似性を確立し、系が平衡状態へと緩和されることを示すこと。

提案手法

• スケール相対性理論を用い、時空が微小スケールで微分不可能であるとみなすことで、複素かつスケール共変な運動方程式を導出する。
• 有効温度に起因する対数非線形項と、摩擦に起因する減衰項を含む一般化されたシュレーディンガー方程式を導入する。両項とも、スケール相対性における複素摩擦係数に由来する。
• 摩擦を含む古典的ハミルトニアン・ジャコビ方程式にシュレーディンガーの変分法を適用し、作用 σ = 2𝒟 lnφ を代入することで波動方程式を導出する。
• 有効拡散係数 𝒟 と温度 T、摩擦係数 ξ の間の一般化されたアインシュタイン関係 𝒟 = kBT/(mξ) を導出し、𝒟 を基本的スケールパラメータとして解釈する。
• ボルツマン型自由エネルギー関数を用いたH定理を用いて、系が平衡状態へと緩和することを証明し、コア-ハロー構造の安定性を保証する。
• 定常解を解析することで、量子的波動関数のポテンシャルがソリトン的コアを生成しキューブ問題を解決することを示し、対数項が等温ハローを生成し平坦な回転曲線を説明できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダークマター銀河団のコア-ハロー構造は、時空のフラクタル幾何に基づく一般化されたシュレーディンガー方程式から導出可能か？
• RQ2 シュレーディンガー方程式に対数非線形項と減衰項を含めることで、観測された平坦な回転曲線と等温コアをどのように説明できるか？
• RQ3 有効係数 𝒟 = 1.02×10²³ m²/s の物理的起源は何か？また、量子力学的または古典的統計力学とどのように関係するか？
• RQ4 キューブ-コア問題のようなCDMモデルの小スケール問題は、超軽量ダークマター粒子やバリオン的フィードバックを仮定せずに解決可能か？
• RQ5 このモデルには熱力学的類似性があるか？H定理は平衡状態への緩和を保証するか？

主な発見

• スケール相対性理論に基づいて導出された一般化されたシュレーディンガー方程式は、ソリトン的コアを有するコア-ハロー構造を正確に再現し、キューブ問題を解決する。
• 方程式に含まれる対数非線形項は等温ハロー成分を生成し、スパイラル銀河で観測される平坦な回転曲線を説明する。
• 減衰項により、ボルツマン型自由エネルギー関数が支配する緩和過程を経て、系が平衡状態へと到達することが保証され、H定理によって安定性が裏付けられる。
• 有効係数 𝒟 = 1.02×10²³ m²/s は理論から導出され、粒子質量やプランク定数に依存せず、観測的制約と一致する。
• このモデルはダークマター粒子が超軽量または量子力学的である必要がない。代わりに、波動的挙動は時空のフラクタル構造または長期的なカオス的運動に起因するとする。
• 関係式 𝒟 = kBT/(mξ) は一般化されたアインシュタイン関係を示し、有効拡散係数 𝒟 が温度 T と摩擦係数 ξ に依存することを示唆する。温度はダークマターがフェルミ粒子である場合を除き、有効的なものである。